Exercício 7. Um bloco de massa
está conectado a uma mola cuja outra extremidade é mantida fixa. Há também um mecanismo de amortecimento viscoso. As seguintes observações foram feitas sobre este sistema:
(1) Se o bloco é empurrado horizontalmente com uma força igual a
, a compressão estática da mola é igual a
.
(2) A força de resistência viscosa é igual a mg se o bloco se move com uma certa velocidade conhecida
.
a) Para este sistema completo (que inclui a mola e o amortecedor), escreva a equação diferencial que governa as oscilações horizontais da massa em função de
, he
. Responda às seguintes perguntas se
:
b) Qual é a frequência angular das oscilações amortecidas?
c) Qual o tempo necessário, expresso como um múltiplo de
, para que a energia diminua por um fator de
?
d) Qual é o valor de
deste oscilador?
e) Este oscilador, inicialmente em sua posição de repouso, é subitamente posto em movimento quando
por um projétil de massa desprezível, mas com momento diferente de zero, que se move em direção positiva em
. Encontre o valor do ângulo de fase
na equação
que descreve o movimento subsequente e represente
como uma função de t para os primeiros ciclos.
(1) Se o bloco é empurrado horizontalmente com uma força igual a
(2) A força de resistência viscosa é igual a mg se o bloco se move com uma certa velocidade conhecida
b) Qual é a frequência angular das oscilações amortecidas?
c) Qual o tempo necessário, expresso como um múltiplo de
d) Qual é o valor de
e) Este oscilador, inicialmente em sua posição de repouso, é subitamente posto em movimento quando
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor em que:
- Sob uma força estática de empuxo igual a
, a mola comprime-se de . Da lei de Hooke segue
logo
- A resistência viscosa é
, e foi observada igual a quando a velocidade vale . Assim
Portanto, a equação de movimento (forças resultantes =
) é
ou, dividindo por
,
em função de
. A partir de agora tomamos
.
Passo 2
Substituindo
a equação fica
Passo 3
A frequência angular natural não amortecida é
O coeficiente de amortecimento é
. Como
, temos
A frequência angular amortecida é
Passo 4
A energia decai como
. Para
basta
Passo 5
O fator de qualidade é
Passo 6
No instante
a massa está em
e recebe um impulso
, gerando velocidade inicial
. A solução geral é
Em
:
(escolhemos o sinal que dá
).
Além disso
Além disso
logo em
:
Portanto, para os primeiros ciclos,
Resposta
a)
.
b) .
c) .
d) .
e) e
, que se escreve também como
.
b)
c)
d)
e)