Exercício 7. Um bloco de massa m está conectado a uma mola cuja outra extremidade é mantida fixa. Há também um mecanismo de amortecimento viscoso. As seguintes observações foram feitas sobre este sistema:
(1) Se o bloco é empurrado horizontalmente com uma força igual a h, a compressão estática da mola é igual a h.
(2) A força de resistência viscosa é igual a mg se o bloco se move com uma certa velocidade conhecida u.
a) Para este sistema completo (que inclui a mola e o amortecedor), escreva a equação diferencial que governa as oscilações horizontais da massa em função de m, g, he u. Responda às seguintes perguntas se u=3 \sqrt{g h} :
b) Qual é a frequência angular das oscilações amortecidas?
c) Qual o tempo necessário, expresso como um múltiplo de \sqrt{h / g}, para que a energia diminua por um fator de 1 / e ?
d) Qual é o valor de Q deste oscilador?
e) Este oscilador, inicialmente em sua posição de repouso, é subitamente posto em movimento quando t=0 por um projétil de massa desprezível, mas com momento diferente de zero, que se move em direção positiva em x. Encontre o valor do ângulo de fase \delta na equação x=A e-\beta t / 2 \cos (\omega t-\delta) que descreve o movimento subsequente e represente x como uma função de t para os primeiros ciclos.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor em que:
  1. Sob uma força estática de empuxo igual a mg, a mola comprime-se de h. Da lei de Hooke segue
mg = k\,h
logo
k = \frac{mg}{h}.
  1. A resistência viscosa é b\,u, e foi observada igual a mg quando a velocidade vale u. Assim
b\,u = mg \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{mg}{u}.
Portanto, a equação de movimento (forças resultantes = m\,x'') é
m\,x'' + b\,x' + k\,x = 0
ou, dividindo por m,
x'' + \frac{b}{m}\,x' + \frac{k}{m}\,x = 0
em função de m,g,h,u. A partir de agora tomamos u = 3\sqrt{g\,h}.

Passo 2

Substituindo
\frac{b}{m} = \frac{mg/u}{m} = \frac{g}{u}, \qquad \frac{k}{m} = \frac{(mg/h)}{m} = \frac{g}{h},
a equação fica
x'' + \frac{g}{u}\,x' + \frac{g}{h}\,x = 0.

Passo 3

A frequência angular natural não amortecida é
\omega_{0} = \sqrt{\frac{g}{h}}.
O coeficiente de amortecimento é \beta = b/m = g/u. Como u = 3\sqrt{g\,h}, temos
\beta = \frac{g}{3\sqrt{g\,h}} = \frac{1}{3}\,\sqrt{\frac{g}{h}}.
A frequência angular amortecida é
\omega = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \frac{\beta^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{g}{h} - \frac{1}{36}\,\frac{g}{h}} = \sqrt{\frac{35}{36}\,\frac{g}{h}} = \sqrt{\frac{35\,g}{36\,h}}.

Passo 4

A energia decai como E(t)\propto e^{-\beta\,t}. Para E(t)/E(0)=1/e basta
\beta\,t = 1 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{\beta} = \frac{u}{g} = \frac{3\sqrt{g\,h}}{g} = 3\,\sqrt{\frac{h}{g}}.

Passo 5

O fator de qualidade é
Q = \frac{\omega_{0}}{\beta} = \frac{\sqrt{\tfrac{g}{h}}}{\tfrac{1}{3}\sqrt{\tfrac{g}{h}}} = 3.

Passo 6

No instante t=0 a massa está em x(0)=0 e recebe um impulso J, gerando velocidade inicial x'(0)=v_{0}=J/m>0. A solução geral é
x(t)=A\,e^{-\beta t/2}\cos\bigl(\omega\,t-\delta\bigr).
Em t=0:
x(0)=A\cos(-\delta)=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos\delta=0 \;\Rightarrow\;\delta=-\frac{\pi}{2},
(escolhemos o sinal que dá x'(0)>0).
Além disso
x'(t)=-\tfrac{\beta}{2}A\,e^{-\beta t/2}\cos(\omega t-\delta) - A\omega\,e^{-\beta t/2}\sin(\omega t-\delta),
logo em t=0:
v_{0}=x'(0)= -A\omega\sin(-\delta)=A\omega \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{v_{0}}{\omega}=\frac{J}{m\,\omega}.
Portanto, para os primeiros ciclos,
x(t) = \frac{J}{m\,\omega}\, e^{-\tfrac{\beta}{2}t}\, \cos\!\Bigl(\omega\,t + \tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \frac{J}{m\,\omega}\, e^{-\tfrac{g}{2u}t}\, \sin(\omega\,t).

Resposta

a) x'' + \tfrac{g}{u}\,x' + \tfrac{g}{h}\,x = 0.
b) \displaystyle \omega = \sqrt{\tfrac{35\,g}{36\,h}}.
c) \displaystyle t = 3\,\sqrt{\tfrac{h}{g}}.
d) Q=3.
e) \displaystyle \delta = -\tfrac{\pi}{2} e \displaystyle x(t)=\frac{J}{m\,\omega}\,e^{-\tfrac{g}{2u}\,t}\cos\bigl(\omega t-\delta\bigr), que se escreve também como \displaystyle x(t)=\frac{J}{m\,\omega}\,e^{-\tfrac{g}{2u}t}\sin(\omega t).

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