Exercício R.1.3.8. Um cabo elétrico de 10 mm de diâmetro tem resistência elétrica por unidade de comprimento de 0,001 \Omega / \mathrm{m}. e é revestido por uma camada de material plástico de 1 mm de espessura e condutividade térmica 0,20 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}. O cabo vai ser utilizado em uma ambiente cujo ar está na temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película de 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Se o plástico usado suporta no máximo 177{ }^{\circ} \mathrm{C} sem se derreter, determine a máxima corrente elétrica que pode passar pelo cabo.

Passo 1

Vou separar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro do fio condutor: 10\\ \mathrm{mm}. (Logo o raio interno é \,r_1=0,005\\ \mathrm{m}.)
  • Espessura do revestimento plástico: 1\\ \mathrm{mm}. (Logo o raio externo é \,r_2=r_1+0,001=0,006\\ \mathrm{m}.)
  • Resistência elétrica por unidade de comprimento do cabo: R' = 0,001\\ \Omega/\mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do plástico: k=0,20\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_\infty = 27^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo (coeficiente de película): h=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • Temperatura máxima suportada pelo plástico: T_{\max}=177^\circ\mathrm{C}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a máxima corrente elétrica I_{\max} que pode passar pelo cabo sem que a temperatura do plástico atinja T_{\max}.
Observação (já extraída do enunciado e da figura): o aquecimento é por efeito Joule no condutor; a potência gerada por unidade de comprimento é dissipada radialmente através do plástico e finalmente por convecção para o ar. A análise será feita por unidade de comprimento (comprimento 1\\ \mathrm{m}).

Passo 2

Modelo físico e relação entre corrente e calor gerado.
Quando passa corrente I num condutor com resistência por unidade de comprimento R', a potência (calor) gerada por unidade de comprimento é
\dot{q}' = I^{2} R',
onde \dot{q}' tem unidades \mathrm{W}/\mathrm{m}. Essa potência por unidade de comprimento deve ser totalmente dissipada para o ambiente em regime estacionário.
O salto de temperatura entre a superfície interna do plástico (na interface com o condutor, T_{r_1}) e o ar ambiente T_\infty é dado pela lei da condução+convecção através de uma resistência térmica equivalente por unidade de comprimento:
T_{r_1}-T_\infty = \dot{q}' \, R_{\text{th,tot}}.
Para garantir que o plástico não derreta, impomos T_{r_1}\le T_{\max}. Para a máxima corrente tomamos a condição limite T_{r_1}=T_{\max}, logo
\dot{q}'_{\max} = \frac{T_{\max}-T_\infty}{R_{\text{th,tot}}}
e então
I_{\max} = \sqrt{\frac{\dot{q}'_{\max}}{R'}}.
Nos próximos passos vou explicar e calcular R_{\text{th,tot}}.

Passo 3

Resistências térmicas em geometria cilíndrica (por unidade de comprimento).
Temos duas resistências em série por unidade de comprimento:
  1. Resistência por condução através do revestimento plástico (entre r_1 e r_2):
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k}.
Explicando a fórmula: para um cilindro de comprimento unitário, a área de fluxo varia com r, e integrando a lei de Fourier obtemos esta expressão; k é a condutividade térmica ( \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}), e o logaritmo adimensional aparece por causa da geometria circular.
  1. Resistência por convecção na superfície externa ( r=r_2), por unidade de comprimento:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,2\pi r_2}.
Explicando: a resistência convectiva é 1/(hA) com A=2\pi r_2 \cdot 1 (área lateral por metro de comprimento).
Total:
R_{\text{th,tot}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}.

Passo 4

Calcular numericamente as resistências com os dados dados.
Primeiro calculemos \ln(r_2/r_1):
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=\ln\!\left(\frac{0,006}{0,005}\right)=\ln(1,2)\approx 0,1823216.
Agora a resistência por condução:
R_{\text{cond}}=\frac{0,1823216}{2\pi\cdot 0,20} =\frac{0,1823216}{1,2566371}\approx 0,1451\\ \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{W}.
Resistência por convecção:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{10\cdot 2\pi\cdot 0,006} =\frac{1}{0,3769911}\approx 2,6526\\ \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{W}.
Somando:
R_{\text{th,tot}}=0,1451+2,6526\approx 2,7977\\ \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{W}.
Comentário prático: a resistência convectiva domina (é muito maior que a resistência de condução do plástico); isso significa que melhorar a convecção (maior h) teria efeito grande em aumentar a corrente admissível.

Passo 5

Determinar a máxima potência gerada por unidade de comprimento \dot{q}'_{\max} que mantém o plástico em T_{\max}.
Diferença de temperatura admissível:
\Delta T = T_{\max}-T_\infty = 177^\circ\mathrm{C}-27^\circ\mathrm{C}=150\\ \mathrm{K}.
Logo
\dot{q}'_{\max}=\frac{\Delta T}{R_{\text{th,tot}}} =\frac{150}{2,7977}\approx 53,63\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.

Passo 6

Converter \dot{q}'_{\max} em corrente máxima.
Temos \dot{q}'_{\max}=I_{\max}^2 R', logo
I_{\max}=\sqrt{\frac{\dot{q}'_{\max}}{R'}}=\sqrt{\frac{53,63}{0,001}}=\sqrt{53630}\approx 231{,}6\\ \mathrm{A}.
Arredondando de forma prática, I_{\max}\approx 232\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Verificação rápida de unidades e interpretação final.
  • \dot{q}' em \mathrm{W}/\mathrm{m}, R' em \Omega/\mathrm{m} \dot{q}'/R' tem unidades \mathrm{A}^2, assim a raiz dá A. Consistente.
  • Como a resistência convectiva é muito maior que a condutiva, o limite foi controlado pela troca com o ar; num ambiente com ventilação (maior h) a corrente admissível aumentaria bastante.

Resposta

I_{\max}\approx 232\\ \mathrm{A}

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