Exercício R.1.3.8. Um cabo elétrico de 10 mm de diâmetro tem resistência elétrica por unidade de comprimento de
. e é revestido por uma camada de material plástico de 1 mm de espessura e condutividade térmica
. O cabo vai ser utilizado em uma ambiente cujo ar está na temperatura de
, com coeficiente de película de
. Se o plástico usado suporta no máximo
sem se derreter, determine a máxima corrente elétrica que pode passar pelo cabo.
Passo 1
Vou separar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
Dados fornecidos:
- Diâmetro do fio condutor:
. (Logo o raio interno é .) - Espessura do revestimento plástico:
. (Logo o raio externo é .) - Resistência elétrica por unidade de comprimento do cabo:
. - Condutividade térmica do plástico:
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Coeficiente convectivo (coeficiente de película):
. - Temperatura máxima suportada pelo plástico:
.
O que o enunciado pede:
- Determinar a máxima corrente elétrica
que pode passar pelo cabo sem que a temperatura do plástico atinja .
Observação (já extraída do enunciado e da figura): o aquecimento é por efeito Joule no condutor; a potência gerada por unidade de comprimento é dissipada radialmente através do plástico e finalmente por convecção para o ar. A análise será feita por unidade de comprimento (comprimento
).
Passo 2
Modelo físico e relação entre corrente e calor gerado.
Quando passa corrente
num condutor com resistência por unidade de comprimento
, a potência (calor) gerada por unidade de comprimento é
onde
tem unidades
. Essa potência por unidade de comprimento deve ser totalmente dissipada para o ambiente em regime estacionário.
O salto de temperatura entre a superfície interna do plástico (na interface com o condutor,
) e o ar ambiente
é dado pela lei da condução+convecção através de uma resistência térmica equivalente por unidade de comprimento:
Para garantir que o plástico não derreta, impomos
. Para a máxima corrente tomamos a condição limite
, logo
e então
Nos próximos passos vou explicar e calcular
.
Passo 3
Resistências térmicas em geometria cilíndrica (por unidade de comprimento).
Temos duas resistências em série por unidade de comprimento:
- Resistência por condução através do revestimento plástico (entre
e ):
Explicando a fórmula: para um cilindro de comprimento unitário, a área de fluxo varia com
, e integrando a lei de Fourier obtemos esta expressão;
é a condutividade térmica (
), e o logaritmo adimensional aparece por causa da geometria circular.
- Resistência por convecção na superfície externa (
), por unidade de comprimento:
Explicando: a resistência convectiva é
com
(área lateral por metro de comprimento).
Total:
Passo 4
Calcular numericamente as resistências com os dados dados.
Primeiro calculemos
:
Agora a resistência por condução:
Resistência por convecção:
Somando:
Comentário prático: a resistência convectiva domina (é muito maior que a resistência de condução do plástico); isso significa que melhorar a convecção (maior
) teria efeito grande em aumentar a corrente admissível.
Passo 5
Determinar a máxima potência gerada por unidade de comprimento
que mantém o plástico em
.
Diferença de temperatura admissível:
Logo
Passo 6
Converter
em corrente máxima.
Temos
, logo
Arredondando de forma prática,
.
Passo 7
Verificação rápida de unidades e interpretação final.
-
em , em → tem unidades , assim a raiz dá . Consistente. - Como a resistência convectiva é muito maior que a condutiva, o limite foi controlado pela troca com o ar; num ambiente com ventilação (maior
) a corrente admissível aumentaria bastante.