Exercício P.1.3.1. Uma parede de um forno é constituída de duas camadas : 0,20 \mathrm{~m} de tijolo refratário ( \mathrm{k}=1,2 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ) e 0,13 \mathrm{~m} de tijolo isolante ( 0,15 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ). A temperatura dos gases dentro do forno é 1700^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de película na parede interna é 58 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura ambiente é 27{ }^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de película na parede externa é 12,5 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}. Calcular :
a) o fluxo de calor por \mathrm{m}^{2} de parede;
c) a temperatura nas superfícies interna e externa da parede.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente os números fornecidos):
  • Espessura do tijolo refratário: L_1 = 0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do tijolo refratário: k_1 = 1{,}2\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Espessura do tijolo isolante: L_2 = 0{,}13\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do tijolo isolante: k_2 = 0{,}15\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Temperatura dos gases (lado interno): T_{\text{gases}} = 1700\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de película na face interna: h_i = 58\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Temperatura ambiente (lado externo): T_{\text{amb}} = 27\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de película na face externa: h_o = 12{,}5\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
O que a questão pede:
  • (a) O fluxo de calor por \mathrm{m}^2 de parede (ou seja, o fluxo de calor superficial, unidade \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2)).
  • (c) As temperaturas nas superfícies interna e externa da parede (ou seja, a temperatura da face interna da parede que fica em contacto com os gases e a temperatura da face externa voltada ao ambiente).

Passo 2

Modelo físico e fórmulas básicas (explicação didática):
  • Temos regime estacionário unidimensional através de uma parede em camadas com convecção em cada face. O fluxo de calor por unidade de área (chamo de q) é o mesmo ao longo de toda a cadeia de resistências térmicas em série.
  • Cada resistência térmica por unidade de área tem forma:
    • Resistência de convecção numa face: \displaystyle R_{\text{conv}}=\frac{1}{h}, onde h é o coeficiente de película ( \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C})). A unidade de R_{\text{conv}} é \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}, mas aqui consideramos por metro quadrado (área A=1\\ \mathrm{m}^2).
    • Resistência de condução de uma camada plana por unidade de área: \displaystyle R_{\text{cond}}=\frac{L}{k}, onde L é a espessura (m) e k a condutividade ( \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C})).
  • Soma das resistências em série: \displaystyle R_{\text{tot}}=R_{\text{conv,in}}+R_{\text{cond,1}}+R_{\text{cond,2}}+R_{\text{conv,out}}.
  • Fluxo por unidade de área (Lei de Ohm térmica): q=\frac{T_{\text{gases}}-T_{\text{amb}}}{R_{\text{tot}}}.
  • Temperaturas das superfícies (explicando como calcular):
    • Queda de temperatura na convecção interna: \displaystyle T_{\text{gases}}-T_{s,\text{int}}=q\,R_{\text{conv,in}}. Assim T_{s,\text{int}}=T_{\text{gases}}-q\,R_{\text{conv,in}}.
    • Queda de temperatura na convecção externa: \displaystyle T_{s,\text{ext}}-T_{\text{amb}}=q\,R_{\text{conv,out}}. Assim T_{s,\text{ext}}=T_{\text{amb}}+q\,R_{\text{conv,out}}.
    • Alternativamente pode-se subtrair as quedas nas resistências de condução a partir de T_{s,\text{int}} para obter T_{s,\text{ext}}; ambas as formas dão o mesmo resultado.

Passo 3

Calcular cada resistência (por 1\\ \mathrm{m}^2 de área):
  • Resistência de convecção interna: R_{\text{conv,in}}=\frac{1}{h_i}=\frac{1}{58}\\ \mathrm{h\cdot m^2\cdot {}^\circ C/kcal}\approx 0{,}0172413793.
  • Resistência de condução da camada 1 (tijolo refratário): R_{\text{cond,1}}=\frac{L_1}{k_1}=\frac{0{,}20}{1{,}2}=\frac{1}{6}\approx 0{,}1666666667.
  • Resistência de condução da camada 2 (tijolo isolante): R_{\text{cond,2}}=\frac{L_2}{k_2}=\frac{0{,}13}{0{,}15}=\frac{13}{15}\approx 0{,}8666666667.
  • Resistência de convecção externa: R_{\text{conv,out}}=\frac{1}{h_o}=\frac{1}{12{,}5}=0{,}08.

Passo 4

Soma das resistências e cálculo do fluxo:
  • Soma: R_{\text{tot}}=R_{\text{conv,in}}+R_{\text{cond,1}}+R_{\text{cond,2}}+R_{\text{conv,out}}
R_{\text{tot}}\approx 0{,}0172413793+0{,}1666666667+0{,}8666666667+0{,}08\approx 1{,}1305747127.
  • Diferença de temperatura: \Delta T = T_{\text{gases}}-T_{\text{amb}}=1700-27=1673\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Fluxo por metro quadrado: q=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot}}}=\frac{1673}{1{,}1305747127}\approx 1479{,}78\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2).(Arredondando, q\approx 1480\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2).)

Passo 5

Cálculo das temperaturas das superfícies:
  • Temperatura da superfície interna da parede (face voltada para os gases): T_{s,\text{int}}=T_{\text{gases}}-q\,R_{\text{conv,in}}=1700-1479{,}78\cdot\frac{1}{58}.
1479{,}78\cdot\frac{1}{58}\approx 25{,}5166,
T_{s,\text{int}}\approx 1700-25{,}5166\approx 1674{,}48\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da superfície externa da parede (face voltada para o ambiente): T_{s,\text{ext}}=T_{\text{amb}}+q\,R_{\text{conv,out}}=27+1479{,}78\cdot 0{,}08.
1479{,}78\cdot 0{,}08\approx 118{,}3824,
T_{s,\text{ext}}\approx 27+118{,}3824\approx 145{,}38\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Verificação rápida (consistência): soma das quedas de temperatura nas resistências dá 1673\\ ^\circ\mathrm{C} quando multiplicadas por q; e os valores obtidos para T_{s,\text{int}} e T_{s,\text{ext}} são coerentes (a superfície interna fica muito quente, próxima da temperatura dos gases; a externa fica bem mais fria).

Resposta

(a) q\approx 1479{,}78\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2)
(c) T_{s,\text{int}}\approx 1674{,}48\\ ^\circ\mathrm{C}
T_{s,\text{ext}}\approx 145{,}38\\ ^\circ\mathrm{C}

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