Exercício P.1.3.3. Um submarino deve ser projetado para proporcionar uma temperatura agradável à tripulação não inferior a 20^{\circ} \mathrm{C}. O submarino pode ser idealizado como um cilindro de 10 m de diâmetro e 70 m de comprimento. O coeficiente de película interno é cerca de 12 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}, enquanto que, no exterior, estimase que varie entre 70 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C} (submarino parado) e 600 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C} (velocidade máxima). A construção das paredes do submarino é do tipo sanduíche com uma camada externa de 19 mm de aço inoxidável ( \mathrm{k}=14 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ), uma camada de 25 mm de fibra de vidro ( \mathrm{k}=0,034 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) e uma camada de 6 mm de alumínio ( \mathrm{k}=175 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) no interior. Determine a potência necessária ( em kW ) da unidade de aquecimento requerida se a temperatura da água do mar varia entre 7^{\circ} \mathrm{C} e 12^{\circ} \mathrm{C}. DADO : 1 \mathrm{KW}=860 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h}
Resposta : 40,2 \mathrm{KW} ; 50 \mathrm{~mm} ; 35^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (todos os números abaixo vieram do enunciado).
  • Geometria do submarino (idealizado por um cilindro):
    • Diâmetro: \,D=10\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento: \,L=70\\ \mathrm{m}.
  • Temperaturas:
    • Temperatura interna a ser mantida: \,T_i=20^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura da água do mar varia entre \,T_{o,\min}=7^{\circ}\mathrm{C} e \,T_{o,\max}=12^{\circ}\mathrm{C}.
  • Coeficientes de película (convecção):
    • Interno: \,h_{in}=12\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
    • Externo: varia entre \,h_{out}=70 e \,600\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
  • Parede em sanduíche (espessuras e condutividades):
    • Aço inoxidável externo: espessura \,L_1=19\\ \mathrm{mm}=0,019\\ \mathrm{m}, \,k_1=14\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
    • Fibra de vidro (isolante): espessura \,L_2=25\\ \mathrm{mm}=0,025\\ \mathrm{m}, \,k_2=0{,}034\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
    • Alumínio interno: espessura \,L_3=6\\ \mathrm{mm}=0,006\\ \mathrm{m}, \,k_3=175\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
  • Conversão de unidades: \,1\\ \mathrm{kW}=860\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
  • O que o enunciado pede: determinar a potência necessária (em kW) da unidade de aquecimento se a temperatura do mar varia entre 7^{\circ}\mathrm{C} e 12^{\circ}\mathrm{C}.
Observação importante (decisão que afeta o resultado): para estimar a potência normalmente considera-se o caso “pior” (maior perda de calor), que ocorre com a menor temperatura externa e a maior transferência convectiva externa. Portanto usaremos \,T_o=7^{\circ}\mathrm{C} e \,h_{out}=600\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}) para calcular a potência máxima exigida. Também é comum, em primeira aproximação, considerar apenas a superfície lateral do cilindro (a área da “casca”), porque a área das tampas é pequena em relação à lateral; farei o cálculo principal com a lateral e, depois, comentarei o efeito de incluir as tampas.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida, passo a passo, sem pular etapas).
  1. Modelo térmico: o fluxo de calor estacionário através da parede com convecção interna e externa e condução nas camadas é tratado como um circuito térmico em série. A resistência térmica total por unidade de área é a soma das resistências convectivas e das resistências de condução das camadas.
  2. Resistências por unidade de área:
  • Resistência convectiva interna: R_{conv,in}=\frac{1}{h_{in}}.Aqui R_{conv,in} tem unidades \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{kcal}. Significado: quanto maior h, menor a resistência à troca com o fluido.
  • Resistência convectiva externa: R_{conv,out}=\frac{1}{h_{out}}.
  • Resistência de condução de uma camada de espessura L e condutividade k: R_{cond}=\frac{L}{k}.Também por unidade de área.
  1. Resistência total por unidade de área:
R_{tot} = R_{conv,in} + \sum_{\text{camadas}} R_{cond} + R_{conv,out}.
  1. Fluxo de calor por unidade de área (lei de Ohm térmica):
q'' = \frac{T_i - T_o}{R_{tot}},
com unidades \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2).
  1. Potência total (taxa de calor) é:
\dot{Q} = q'' \cdot A,
onde A é a área através da qual se perde calor (aqui, a área lateral do cilindro).
  1. Conversão para kW:
\dot{Q}_{\mathrm{kW}} = \frac{\dot{Q}\\ (\mathrm{kcal}/\mathrm{h})}{860}.
Vou aplicar estas fórmulas com os valores dados.

Passo 3

Calcular a área lateral do cilindro (usar apenas lateral, como explicado; depois faço comentário incluindo tampas).
  • Área lateral:
A_{lat}=\pi D L.
Substituindo:
A_{lat}=\pi\cdot 10\\ \mathrm{m}\cdot 70\\ \mathrm{m}=700\pi\\ \mathrm{m}^2.
Em número:
A_{lat}=700\pi\approx 2199{,}115\\ \mathrm{m}^2.
(Se quisermos a área total incluindo as duas tampas: A_{tampas}=2\pi (D/2)^2=50\pi\approx157{,}08\\ \mathrm{m}^2 e A_{total}=750\pi\approx2356{,}194\\ \mathrm{m}^2. Vou usar A_{lat} no cálculo principal.)

Passo 4

Calcular as resistências por unidade de área (todos os cálculos com unidades consistentes: \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}) e metros).
  1. Resistência convectiva interna:
R_{conv,in}=\frac{1}{h_{in}}=\frac{1}{12}=0{,}0833333\\ \frac{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}}{\mathrm{kcal}}.
  1. Resistência das camadas (condução):
R_{1}=\frac{L_1}{k_1}=\frac{0{,}019}{14}=0{,}00135714\\ \frac{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}}{\mathrm{kcal}},
R_{2}=\frac{L_2}{k_2}=\frac{0{,}025}{0{,}034}=0{,}73529412\\ \frac{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}}{\mathrm{kcal}},
R_{3}=\frac{L_3}{k_3}=\frac{0{,}006}{175}=0{,}0000342857\\ \frac{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}}{\mathrm{kcal}}.
  1. Resistência convectiva externa (caso mais severo h_{out}=600):
R_{conv,out}=\frac{1}{600}=0{,}00166667\\ \frac{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}}{\mathrm{kcal}}.
  1. Soma das resistências:
R_{tot}=R_{conv,in}+R_1+R_2+R_3+R_{conv,out}.
Numericamente:
R_{tot}=0{,}08333333+0{,}00135714+0{,}73529412+0{,}0000342857+0{,}00166667.
Calcule passo a passo:
0{,}08333333+0{,}00135714=0{,}08469047,
0{,}08469047+0{,}73529412=0{,}81998459,
0{,}81998459+0{,}0000342857=0{,}82001888,
0{,}82001888+0{,}00166667=0{,}82168555.
Logo
R_{tot}\approx 0{,}821686\\ \frac{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}}{\mathrm{kcal}}.

Passo 5

Calcular a transferência de calor e a potência necessária.
  1. Diferença de temperatura para o pior caso:
\Delta T = T_i - T_o = 20 - 7 = 13\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  1. Fluxo de calor por unidade de área:
q''=\frac{\Delta T}{R_{tot}}=\frac{13}{0{,}82168555}\approx 15{,}8193\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2}.
  1. Potência total (usando a área lateral):
\dot{Q} = q''\cdot A_{lat} \approx 15{,}8193\cdot 2199{,}114857\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
Calculando:
\dot{Q}\approx 34754{,}9\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
  1. Converter para kW:
\dot{Q}_{\mathrm{kW}}=\frac{\dot{Q}}{860}\approx\frac{34754{,}9}{860}\approx 40{,}4\\ \mathrm{kW}.
Portanto, para o caso mais severo (água a 7^{\circ}\mathrm{C} e h_{out}=600), a potência de aquecimento necessária é aproximadamente \,40{,}4\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Comentário sobre outras hipóteses e sensibilidade (útil para prova):
  • Se em vez de considerar só a lateral usássemos a área total (incluindo as duas tampas), A_{total}=750\pi\approx2356{,}19\\ \mathrm{m}^2, a potência aumentaria para cerca de
\dot{Q} \approx 1{,}21688\cdot 2356{,}19\cdot 13 \approx 37267{,}8\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\quad\Rightarrow\quad 43{,}3\\ \mathrm{kW}.
Ou seja, incluir as tampas aumenta a potência necessária em algumas kW (aumenta cerca de \sim 7\% aqui).
  • Se a água estiver mais quente (por exemplo 12^{\circ}\mathrm{C}) ou o coeficiente externo for menor, a potência exigida cai proporcionalmente, já que \dot{Q} é proporcional ao \Delta T e inversamente proporcional a R_{tot}.
  • A camada isolante (fibra de vidro) domina a resistência térmica: veja que R_2\approx 0{,}735 é muito maior que as demais resistências; por isso aumentar a espessura do isolante reduziria significativamente a potência necessária.
Força final: você consegue fazer isso na prova — monte as resistências em série, calcule R_{tot}, multiplique por a área e transforme as unidades. Vai dar certo!

Resposta

40,4 kW

Exercícios relacionados