Exercício P.1.2.3. Um forno de 6 m de comprimento, 5 m de largura e 3 m de altura tem sua parede constituída de 3 camadas. A camada interna de
é de tijolos refratários (
). A camada intermediária de
tem a metade inferior de tijolos especiais (
) e a metade superior de tijolos comuns (
). A camada externa de
é de aço (
). Sabendo-se que a superfície interna está a
e a superfície externa está a
. Pede-se :
a) o fluxo de calor pela parede
b) considerando que após, alguns anos o fluxo de calor aumentou
devido ao desgaste da camada de refratários. Calcular este desgaste supondo que o mesmo foi uniforme em todo o forno.
a) o fluxo de calor pela parede
b) considerando que após, alguns anos o fluxo de calor aumentou
Passo 1
O enunciado dá um forno em forma de paralelepípedo com dimensões e uma parede composta por 3 camadas; pede-se o fluxo de calor através da parede e, depois, o desgaste uniforme da camada refratária que causa aumento de 10% no fluxo. Dados extraídos do enunciado:
- Dimensões do forno:
- comprimento
, - largura
, - altura
.
- comprimento
- Temperaturas:
- superfície interna
, - superfície externa
.
- superfície interna
- Estrutura da parede (espessura e condutividade térmica
, todos em ): - camada interna: espessura
, ; - camada intermediária: espessura
, sendo que metade da área (metade inferior) tem e a outra metade (metade superior) tem ; - camada externa: espessura
, .
- camada interna: espessura
- O enunciado indica que o desgaste é uniforme em todo o forno e provoca um aumento de
no fluxo de calor. Deve-se calcular quanto material da camada interna (refratários) foi perdido uniformemente.
Passo 2
Conceitos e método (aula curta e prática):
- Em regime estacionário (temperaturas fixas do interior e exterior, sem armazenamento de energia), a taxa de calor através de uma parede plana é dada por uma lei tipo Ohm térmico:
onde é a diferença de temperatura e é a resistência térmica equivalente entre as superfícies. - A resistência térmica de uma placa homogênea de espessura
, condutividade e área é Aqui tem unidade quando está em metros e em . - Quando camadas estão em série (o calor atravessa uma após a outra sobre a mesma área), somam-se as resistências:
- Quando existem caminhos paralelos (o mesmo salto térmico é suportado por áreas distintas que conduzem em paralelo), as resistências parciais combinam pela soma dos condutâncias:
- Aplicação ao problema: a camada interna e a externa ocupam a totalidade da área
. A camada intermediária tem duas regiões (metade da área com e metade com ), portanto essas duas regiões são ramos em paralelo. Assim o circuito térmico é: R1 (total área) em série com R2eq (paralelo das duas metades) em série com R3 (total área).
Vou explicar cada variável quando usada nas contas.
Passo 3
Calcular a área total através da qual ocorre a troca de calor (todas as faces do forno):
- Área total do paralelepípedo:
Substituindo , , :
Agora calculemos as resistências:
-
resistência da camada interna (ocupa a área total
): Aqui, , . -
a camada intermediária tem duas áreas iguais
.
Resistência da metade com: Resistência da metade com: Essas duas resistências estão em paralelo; a resistência equivalente da camada intermediária éCalculando numericamente:portanto(Notação: valores apresentados com várias casas para clareza; na prova pode arredondar adequadamente.) -
resistência da camada externa:
Passo 4
Somar as resistências em série para obter
:
Diferença de temperatura:
Fluxo de calor (parte a):
Calculando:
Explicação curta: esse é o calor total perdido pelo forno através de toda sua superfície, dado o empilhamento das camadas e a diferença de temperatura entre interior e exterior.
Passo 5
Agora (parte b) considerar aumento de
no fluxo devido ao desgaste uniforme da camada refratária (camada interna). Chamemos:
-
espessura original da camada interna (já temos ), -
espessura após desgaste (o que queremos achar), -
fluxo após desgaste.
Raciocínio: somente
muda (porque só a camada refratária se desgastou). Assim
E
Reescrevendo em termos de
:
Logo
Isolando
:
Portanto
Substituindo os valores numéricos já calculados:
-
, -
, -
, .
Calculemos:
Desgaste uniforme (diferença entre espessura original e espessura atual):
Convertendo para centímetros (mais intuitivo):
Interpretação: para provocar 10% a mais de fluxo, a camada refratária teria sido reduzida uniformemente por cerca de
(aprox.
).
Passo 6
Resumo rápido do raciocínio final (motivação para prova):
- Modelar camadas em série usando resistências térmicas;
- quando uma camada é parcialmente diferente em áreas distintas (metade com um k e metade com outro), tratá-las como ramos em paralelo (cada ramo com a sua área);
- calcular a resistência equivalente do paralelo, somar com as séries e usar
; - para variação percentual no fluxo devido a alteração de espessura de uma camada, usar que
se altera proporcionalmente e isolar a nova espessura como feito acima.
Isso é um procedimento direto para aplicar na prova.
Resposta
Desgaste uniforme da camada refratária