Exercício P.1.2.3. Um forno de 6 m de comprimento, 5 m de largura e 3 m de altura tem sua parede constituída de 3 camadas. A camada interna de 0,4 \mathrm{~m} é de tijolos refratários ( \mathrm{k}=1,0 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ). A camada intermediária de 0,30 \mathrm{~m} tem a metade inferior de tijolos especiais ( \mathrm{k}=0,20 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ) e a metade superior de tijolos comuns ( \mathrm{k}=0,40 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} . \mathrm{oC} ). A camada externa de 0,05 \mathrm{~m} é de aço ( \mathrm{k}=30 \mathrm{kcal} / \mathrm{hm}{ }^{\circ} \mathrm{C} ). Sabendo-se que a superfície interna está a 1700^{\circ} \mathrm{C} e a superfície externa está a 60^{\circ} \mathrm{C}. Pede-se :
a) o fluxo de calor pela parede
b) considerando que após, alguns anos o fluxo de calor aumentou 10 \% devido ao desgaste da camada de refratários. Calcular este desgaste supondo que o mesmo foi uniforme em todo o forno.

Passo 1

O enunciado dá um forno em forma de paralelepípedo com dimensões e uma parede composta por 3 camadas; pede-se o fluxo de calor através da parede e, depois, o desgaste uniforme da camada refratária que causa aumento de 10% no fluxo. Dados extraídos do enunciado:
  • Dimensões do forno:
    • comprimento =6\\ \mathrm{m},
    • largura =5\\ \mathrm{m},
    • altura =3\\ \mathrm{m}.
  • Temperaturas:
    • superfície interna T_i=1700^{\circ}\mathrm{C},
    • superfície externa T_e=60^{\circ}\mathrm{C}.
  • Estrutura da parede (espessura e condutividade térmica k, todos em \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot ^\circ C)}):
    • camada interna: espessura L_1=0,40\\ \mathrm{m}, k_1=1,0;
    • camada intermediária: espessura L_2=0,30\\ \mathrm{m}, sendo que metade da área (metade inferior) tem k_{2a}=0,20 e a outra metade (metade superior) tem k_{2b}=0,40;
    • camada externa: espessura L_3=0,05\\ \mathrm{m}, k_3=30.
  • O enunciado indica que o desgaste é uniforme em todo o forno e provoca um aumento de 10\% no fluxo de calor. Deve-se calcular quanto material da camada interna (refratários) foi perdido uniformemente.

Passo 2

Conceitos e método (aula curta e prática):
  • Em regime estacionário (temperaturas fixas do interior e exterior, sem armazenamento de energia), a taxa de calor através de uma parede plana é dada por uma lei tipo Ohm térmico: \dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}},onde \Delta T=T_i-T_e é a diferença de temperatura e R_{\text{total}} é a resistência térmica equivalente entre as superfícies.
  • A resistência térmica de uma placa homogênea de espessura L, condutividade k e área A é R=\frac{L}{kA}.Aqui R tem unidade \mathrm{h\cdot ^\circ C/kcal} quando L está em metros e k em \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot ^\circ C)}.
  • Quando camadas estão em série (o calor atravessa uma após a outra sobre a mesma área), somam-se as resistências: R_{\text{serie}}=\sum \frac{L_i}{k_i A}.
  • Quando existem caminhos paralelos (o mesmo salto térmico é suportado por áreas distintas que conduzem em paralelo), as resistências parciais combinam pela soma dos condutâncias: \frac{1}{R_{\text{eq}}}=\sum \frac{1}{R_j}.
  • Aplicação ao problema: a camada interna e a externa ocupam a totalidade da área A. A camada intermediária tem duas regiões (metade da área com k_{2a} e metade com k_{2b}), portanto essas duas regiões são ramos em paralelo. Assim o circuito térmico é: R1 (total área) em série com R2eq (paralelo das duas metades) em série com R3 (total área).
Vou explicar cada variável quando usada nas contas.

Passo 3

Calcular a área total através da qual ocorre a troca de calor (todas as faces do forno):
  • Área total do paralelepípedo: A = 2(LW + LH + WH).Substituindo L=6\\ \mathrm{m}, W=5\\ \mathrm{m}, H=3\\ \mathrm{m}: A = 2(6\cdot5 + 6\cdot3 + 5\cdot3)=2(30+18+15)=2\cdot63=126\\ \mathrm{m^2}.
Agora calculemos as resistências:
  • resistência da camada interna (ocupa a área total A):
    R_1=\frac{L_1}{k_1 A}=\frac{0,40}{1{,}0\cdot 126}=\frac{0{,}40}{126}=0{,}003174603\\ \mathrm{h\cdot ^\circ C/kcal}.
    Aqui L_1=0{,}40\\ \mathrm{m}, k_1=1{,}0, A=126\\ \mathrm{m^2}.
  • a camada intermediária tem duas áreas iguais A/2=63\\ \mathrm{m^2}.
    Resistência da metade com k_{2a}=0{,}20:
    R_{2a}=\frac{L_2}{k_{2a}\,(A/2)}=\frac{0{,}30}{0{,}20\cdot 63}=\frac{0{,}30}{12{,}6}=0{,}023809524\\ \mathrm{h\cdot ^\circ C/kcal}.
    Resistência da metade com k_{2b}=0{,}40:
    R_{2b}=\frac{L_2}{k_{2b}\,(A/2)}=\frac{0{,}30}{0{,}40\cdot 63}=\frac{0{,}30}{25{,}2}=0{,}011904762\\ \mathrm{h\cdot ^\circ C/kcal}.
    Essas duas resistências estão em paralelo; a resistência equivalente da camada intermediária é
    \frac{1}{R_{2\text{eq}}}=\frac{1}{R_{2a}}+\frac{1}{R_{2b}}.
    Calculando numericamente:
    \frac{1}{R_{2\text{eq}}}=\frac{1}{0{,}023809524}+\frac{1}{0{,}011904762}=42+84=126,
    portanto
    R_{2\text{eq}}=\frac{1}{126}=0{,}007936508\\ \mathrm{h\cdot ^\circ C/kcal}.
    (Notação: valores apresentados com várias casas para clareza; na prova pode arredondar adequadamente.)
  • resistência da camada externa:
    R_3=\frac{L_3}{k_3 A}=\frac{0{,}05}{30\cdot 126}=\frac{0{,}05}{3780}=0{,}0000132275\\ \mathrm{h\cdot ^\circ C/kcal}.

Passo 4

Somar as resistências em série para obter R_{\text{total}}:
R_{\text{total}}=R_1+R_{2\text{eq}}+R_3 =0{,}003174603+0{,}007936508+0{,}0000132275 =0{,}0111243386\\ \mathrm{h\cdot ^\circ C/kcal}.
Diferença de temperatura:
\Delta T = T_i-T_e = 1700-60 = 1640\\ ^\circ\mathrm{C}.
Fluxo de calor (parte a):
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{1640}{0{,}0111243386}\\ \mathrm{kcal/h}.
Calculando:
\dot{Q}\approx 147434\\ \mathrm{kcal/h}\approx 1{,}47\cdot10^{5}\\ \mathrm{kcal/h}.
Explicação curta: esse é o calor total perdido pelo forno através de toda sua superfície, dado o empilhamento das camadas e a diferença de temperatura entre interior e exterior.

Passo 5

Agora (parte b) considerar aumento de 10\% no fluxo devido ao desgaste uniforme da camada refratária (camada interna). Chamemos:
  • L_1 espessura original da camada interna (já temos 0{,}40\\ \mathrm{m}),
  • L_1' espessura após desgaste (o que queremos achar),
  • \dot{Q}'=1{,}1\,\dot{Q} fluxo após desgaste.
Raciocínio: somente R_1 muda (porque só a camada refratária se desgastou). Assim
R_{\text{total}}'=\frac{L_1'}{k_1 A}+R_{2\text{eq}}+R_3.
E
\dot{Q}'=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}'}=\;1{,}1\,\dot{Q}=\;1{,}1\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}.
Reescrevendo em termos de R:
R_{\text{total}}'=\frac{R_{\text{total}}}{1{,}1}.
Logo
\frac{L_1'}{k_1 A}+R_{2\text{eq}}+R_3=\frac{R_1+R_{2\text{eq}}+R_3}{1{,}1}.
Isolando L_1':
\frac{L_1'}{k_1 A}=\frac{R_1+R_{2\text{eq}}+R_3}{1{,}1}-(R_{2\text{eq}}+R_3).
Portanto
L_1'=k_1 A\left(\frac{R_1+R_{2\text{eq}}+R_3}{1{,}1}-(R_{2\text{eq}}+R_3)\right).
Substituindo os valores numéricos já calculados:
  • R_1+R_{2\text{eq}}+R_3=0{,}0111243386,
  • R_{2\text{eq}}+R_3=0{,}0079497354,
  • k_1=1{,}0, A=126.
Calculemos:
\frac{R_1+R_{2\text{eq}}+R_3}{1{,}1}=\frac{0{,}0111243386}{1{,}1}=0{,}0101121251,
\frac{L_1'}{k_1 A}=0{,}0101121251-0{,}0079497354=0{,}0021623897,
L_1'=1{,}0\cdot 126\cdot 0{,}0021623897=0{,}2724611\\ \mathrm{m}.
Desgaste uniforme (diferença entre espessura original e espessura atual):
\text{desgaste}=L_1-L_1'=0{,}40-0{,}2724611=0{,}1275389\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros (mais intuitivo):
0{,}1275389\\ \mathrm{m}\approx 12{,}75\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: para provocar 10% a mais de fluxo, a camada refratária teria sido reduzida uniformemente por cerca de 0{,}1275\\ \mathrm{m} (aprox. 12{,}8\\ \mathrm{cm}).

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio final (motivação para prova):
  • Modelar camadas em série usando resistências térmicas;
  • quando uma camada é parcialmente diferente em áreas distintas (metade com um k e metade com outro), tratá-las como ramos em paralelo (cada ramo com a sua área);
  • calcular a resistência equivalente do paralelo, somar com as séries e usar \dot{Q}=\Delta T/R_{\text{total}};
  • para variação percentual no fluxo devido a alteração de espessura de uma camada, usar que R_{\text{total}} se altera proporcionalmente e isolar a nova espessura como feito acima.
    Isso é um procedimento direto para aplicar na prova.

Resposta

\dot{Q}\approx 1{,}47\cdot10^{5}\\ \mathrm{kcal/h}
Desgaste uniforme da camada refratária \approx 0{,}1275\\ \mathrm{m} (aprox. 12{,}75\\ \mathrm{cm}).

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