Exercício R.1.3.4. Um reator de paredes planas foi construído em aço inox e tem formato cúbico com 2 m de lado. A temperatura no interior do reator é 600^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de película interno é 45 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}. Tendo em vista o alto fluxo de calor, deseja-se isola-lo com lã de rocha ( \mathrm{k}=0,05 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de modo a reduzir a transferência de calor. Considerando desprezível a resistência térmica da parede de aço inox e que o ar ambiente está a 20^{\circ} \mathrm{C} com coeficiente de película 5 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}, calcular :
a) O fluxo de calor antes da aplicação da isolamento;
b) A espessura do isolamento a ser usado, sabendo-se que a temperatura do isolamento na face externa deve ser igual a 62{ }^{\circ} \mathrm{C};
c) A redução ( em % ) do fluxo de calor após a aplicação do isolamento.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei o valor do lado do cubo da imagem):
  • Geometria: cubo com lado \,L=2\\ \mathrm{m} (peguei este dado da imagem).
  • Temperaturas:
    • Temperatura interna do reator (fluido): \,T_i=600^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do ar ambiente: \,T_a=20^\circ\mathrm{C}.
    • Após isolamento, a face externa do isolamento deve ter temperatura \,T_{s,o}=62^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficientes de convecção:
    • Convecção interna: \,h_i=45\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}).
    • Convecção externa: \,h_e=5\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}).
  • Condutividade térmica do isolamento (lã de rocha): \,k=0,05\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}).
  • Pressupostos do enunciado:
    • Resistência térmica da parede de aço inox desprezível (parede considerada sem queda de temperatura).
    • Isolamento aplicado externamente à parede do cubo, formando uma camada plana sobre cada face.
  • O enunciado pede:
    (a) o fluxo de calor total antes do isolamento;
    (b) a espessura do isolamento \,\delta sabendo que a face externa do isolamento fica a 62^\circ\mathrm{C};
    (c) a redução percentual do fluxo de calor após aplicar o isolamento.

Passo 2

Área total do cubo (cada face tem área \,L^2, e o cubo tem 6 faces):
A_{\text{tot}}=6L^{2}.
Substituindo \,L=2\\ \mathrm{m}:
A_{\text{tot}}=6\cdot(2)^{2}=6\cdot4=24\\ \mathrm{m}^{2}.
Explicando como modelar a transferência de calor (aulas rápidas):
  • Quando a parede metálica é desprezível, a queda de temperatura entre o fluido interno e o ambiente sem isolamento ocorre apenas pelas resistências convectivas interna e externa em série. A resistência convectiva por unidade de área é R_{\text{conv}}=\dfrac{1}{h}. Assim, a resistência térmica total por unidade de área, sem isolamento, é
R'_{\text{sem}}=\frac{1}{h_i}+\frac{1}{h_e}.
  • O fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo) é dado por uma lei de “Ohm térmico”:
q''=\frac{T_i-T_a}{R'},
onde q'' tem unidade \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2). O fluxo total é Q=q''\cdot A_{\text{tot}}.

Passo 3

Calcular a resistência total por unidade de área sem isolamento:
R'_{\text{sem}}=\frac{1}{h_i}+\frac{1}{h_e}=\frac{1}{45}+\frac{1}{5}\\ \left(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}\right).
Fazendo as divisões:
\frac{1}{45}=0{,}022222\ldots,\qquad \frac{1}{5}=0{,}2,
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R'_{\text{sem}}=0{,}022222\ldots+0{,}2=0{,}222222\ldots\\ \left(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}\right).
Densidade de fluxo sem isolamento:
q''_{\text{sem}}=\frac{T_i-T_a}{R'_{\text{sem}}}=\frac{600-20}{0{,}222222\ldots}=\frac{580}{0{,}222222\ldots}.
Como 1/0{,}222222\ldots=4{,}5, obtém-se
q''_{\text{sem}}=580\cdot4{,}5=2610\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2).
Fluxo total sem isolamento:
Q_{\text{sem}}=q''_{\text{sem}}\cdot A_{\text{tot}}=2610\cdot24=62640\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.

Passo 4

Agora, com isolamento: montar o circuito térmico por unidade de área. As resistências em série (de dentro para fora) são:
  • Convecção interna: R_{i}=\dfrac{1}{h_i}.
  • Condução através do isolamento (camada plana): R_{\text{cond}}=\dfrac{\delta}{k}, sendo \delta a espessura procurada.
  • Convecção externa: R_{e}=\dfrac{1}{h_e}.
No entanto o enunciado já dá a temperatura da face externa do isolamento: T_{s,o}=62^\circ\mathrm{C}. Isso simplifica: sabendo T_{s,o} e T_a podemos obter imediatamente o fluxo por unidade de área através da convecção externa:
q''_{\text{com}}=h_e\,(T_{s,o}-T_a).
Isso porque a queda de temperatura entre a face externa e o ar é governada apenas pela convecção externa.

Passo 5

Calcular o fluxo por unidade de área com a face externa a 62^\circ\mathrm{C}:
q''_{\text{com}}=h_e\,(T_{s,o}-T_a)=5\cdot(62-20)=5\cdot42=210\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2).
Fluxo total com isolamento:
Q_{\text{com}}=q''_{\text{com}}\cdot A_{\text{tot}}=210\cdot24=5040\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.

Passo 6

Agora determinar a espessura \delta. Usamos as relações de queda de temperatura nas etapas:
  • Queda entre fluido interno e face interna do isolamento (convectiva):
T_i-T_{s,i}=q''_{\text{com}}\cdot\frac{1}{h_i},
onde T_{s,i} é a temperatura na face interna do isolamento (que contata a parede metálica).
  • Queda através do isolamento (condução):
T_{s,i}-T_{s,o}=q''_{\text{com}}\cdot\frac{\delta}{k}.
Temos já T_i, T_{s,o}, q''_{\text{com}} e h_i. Primeiro calcule T_{s,i}:
T_{s,i}=T_i-q''_{\text{com}}\cdot\frac{1}{h_i}=600-210\cdot\frac{1}{45}.
Calcule \dfrac{1}{45}=0{,}022222\ldots, então
210\cdot\frac{1}{45}=210\cdot0{,}022222\ldots=4{,}666666\ldots
e
T_{s,i}=600-4{,}666666\ldots=595{,}333333\ldots^\circ\mathrm{C}.
Agora a queda através do isolamento:
T_{s,i}-T_{s,o}=595{,}333333\ldots-62=533{,}333333\ldots^\circ\mathrm{C}.
Usando T_{s,i}-T_{s,o}=q''_{\text{com}}\dfrac{\delta}{k} e isolando \delta:
\delta=\frac{(T_{s,i}-T_{s,o})\,k}{q''_{\text{com}}}=\frac{533{,}333333\ldots\cdot0{,}05}{210}.
Calcule numericamente:
533{,}333333\ldots\cdot0{,}05=26{,}6666667,
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\delta=\frac{26{,}6666667}{210}=0{,}127\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox.}).
Em centímetros: 0{,}127\\ \mathrm{m}=12{,}7\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Calcular a redução percentual do fluxo de calor:
\text{redução (\%)}=\left(1-\frac{Q_{\text{com}}}{Q_{\text{sem}}}\right)\cdot100\%.çã
Substituindo os valores:
\frac{Q_{\text{com}}}{Q_{\text{sem}}}=\frac{5040}{62640}=\frac{210}{2610}=\frac{7}{87}\approx0{,}08045977,
portanto
\text{redução (\%)}=\left(1-0{,}08045977\right)\cdot100\%\approx91{,}954\%.çã

Resposta

(a) Q_{\text{sem}}=62640\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}
(b) \delta=0,127\\ \mathrm{m}\approx12{,}7\\ \mathrm{cm}
(c) redução =91{,}95\%

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