Exercício 8 Para cada uma das afirmações a seguir diga se é verdadeira ou falsa. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo. Em cada um dos itens
denota um espaço vetorial de dimensão finita.
- Toda transformação linear
é sobrejetora.
- Toda transformação linear
é injetora.
- Sejam
e
transformações lineares. Se
e
são isomorfismos então
é isomorfismo.
- Sejam
e
transformações lineares. Se
é isomorfismo então
e
são isomorfismos.
Passo 1
O exercício pede para verificar quatro afirmações sobre transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita, envolvendo noções de injeção, sobrejeção, isomorfismo e a relação de dimensões (teorema do posto e da nulidade). Vamos usar conceitos como núcleo, imagem, posto e composição de aplicações lineares.
Passo 2
Item 1: A afirmação é “Toda transformação linear T: ℝ³→ℝ² é sobrejetora.” Isso é falso. Contra-exemplo: considere T(x)=0 para todo x em ℝ³ (mapa nulo). Então Im T={0}≠ℝ², logo T não é sobrejetora.
Item 2: A afirmação é “Toda transformação linear T: ℝ³→ℝ⁴ é injetora.” Isso é falso. Contra-exemplo: o mapa nulo T(x)=0 novamente tem kernel de dimensão 3>0, logo não é injetor.
Item 2: A afirmação é “Toda transformação linear T: ℝ³→ℝ⁴ é injetora.” Isso é falso. Contra-exemplo: o mapa nulo T(x)=0 novamente tem kernel de dimensão 3>0, logo não é injetor.
Passo 3
Item 3: A afirmação é “Se S: W→U e T: V→W são isomorfismos, então S∘T é isomorfismo.” Isso é verdadeiro. Composição de bijeções lineares é bijetiva e linear, e (S∘T)⁻¹=T⁻¹∘S⁻¹.
Passo 4
Item 4: A afirmação é “Se S∘T é isomorfismo então S e T são isomorfismos.” Isso é falso. Contra-exemplo: seja T: ℝ²→ℝ³ a inclusão (injetora, mas não sobrejetora) e S: ℝ³→ℝ² a projeção (sobrejetora, mas não injetora). Então S∘T=Id_{ℝ²} é isomorfismo, mas S e T não o são individualmente.
Resposta
- Falsa; 2. Falsa; 3. Verdadeira; 4. Falsa.