Exercício 8 Para cada uma das afirmações a seguir diga se é verdadeira ou falsa. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo. Em cada um dos itens V neq0 denota um espaço vetorial de dimensão finita.
  1. Toda transformação linear T: R^3 R^2 é sobrejetora.
  2. Toda transformação linear T: R^3 R^4 é injetora.
  3. Sejam T: V W e S: W U transformações lineares. Se S e T são isomorfismos então S circ T é isomorfismo.
  4. Sejam T: V W e S: W U transformações lineares. Se S circ T é isomorfismo então S e T são isomorfismos.

Passo 1

O exercício pede para verificar quatro afirmações sobre transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita, envolvendo noções de injeção, sobrejeção, isomorfismo e a relação de dimensões (teorema do posto e da nulidade). Vamos usar conceitos como núcleo, imagem, posto e composição de aplicações lineares.

Passo 2

Item 1: A afirmação é “Toda transformação linear T: ℝ³→ℝ² é sobrejetora.” Isso é falso. Contra-exemplo: considere T(x)=0 para todo x em ℝ³ (mapa nulo). Então Im T={0}≠ℝ², logo T não é sobrejetora.
Item 2: A afirmação é “Toda transformação linear T: ℝ³→ℝ⁴ é injetora.” Isso é falso. Contra-exemplo: o mapa nulo T(x)=0 novamente tem kernel de dimensão 3>0, logo não é injetor.

Passo 3

Item 3: A afirmação é “Se S: W→U e T: V→W são isomorfismos, então S∘T é isomorfismo.” Isso é verdadeiro. Composição de bijeções lineares é bijetiva e linear, e (S∘T)⁻¹=T⁻¹∘S⁻¹.

Passo 4

Item 4: A afirmação é “Se S∘T é isomorfismo então S e T são isomorfismos.” Isso é falso. Contra-exemplo: seja T: ℝ²→ℝ³ a inclusão (injetora, mas não sobrejetora) e S: ℝ³→ℝ² a projeção (sobrejetora, mas não injetora). Então S∘T=Id_{ℝ²} é isomorfismo, mas S e T não o são individualmente.

Resposta

  1. Falsa; 2. Falsa; 3. Verdadeira; 4. Falsa.

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