Questão 10. Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
l2 x+y-2 z=10 3 x+2 y+2 z=1 5 x+4 y+3 z=4

Passo 1

Nessa questão vamos resolver o sistema linear
2x + y - 2z = 10, 3x + 2y + 2z = 1, 5x + 4y + 3z = 4
usando escalonamento (eliminação de Gauss). Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares de linha para chegar a uma forma triangular.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 2 & 1 & -2 & 10 3 & 2 & 2 & 1 5 & 4 & 3 & 4 ]

Passo 3

Eliminamos o termo em x das linhas 2 e 3 aplicando
R2 to R2 - \tfrac{3}{2}R1 e R3 to R3 - \tfrac{5}{2}R1
obtendo
[ccc|c 2 & 1 & -2 & 10 0 & tfrac12 & 5 & -14 0 & tfrac32 & 8 & -21 ]

Passo 4

Criamos o pivô 1 na posição (2,2) multiplicando a linha 2 por 2 e usamos essa linha para zerar o elemento (3,2):
R2 to 2·R2 e R3 to R3 - \tfrac32 R2
chegando a
[ccc|c 2 & 1 & -2 & 10 0 & 1 & 10 & -28 0 & 0 & -7 & 21 ]

Passo 5

Da terceira linha escalonada temos
-7,z = 21
logo z = -3.

Passo 6

Substituindo z = -3 na segunda linha escalonada y + 10z = -28 obtemos y = 2, e então na primeira equação inicial 2x + y - 2z = 10 encontramos x = 1.

Resposta

(x,y,z) = (1,2,-3)

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