Exercício 2 Diga quais das expressões abaixo define um produto interno. Indique a propriedade que não vale caso não seja produto.
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado: estamos em
(polinômios de grau ≤ 2) e a operação definida é
. O conteúdo é produto interno em espaços vetoriais, e precisaremos checar simetria, bilinearidade e positividade definida.
Passo 2
Verificamos a simetria: para quaisquer
vale
logo a simetria está garantida.
Passo 3
Agora a linearidade (bilinearidade) em, digamos, primeiro argumento: para escalares
e polinômios
,
Passo 4
Falta verificar a positividade definida: para
temos
Passo 5
Como todas as propriedades (simetria, bilinearidade e positividade definida) estão satisfeitas, de fato essa fórmula define um produto interno em
.
Resposta
A expressão dada satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, logo é um produto interno.