Exercício 2 Diga quais das expressões abaixo define um produto interno. Indique a propriedade que não vale caso não seja produto.
Em P2(R),lang<= p, qrang<==p(0) q(0)+p^prime(0) q^prime(0)+p^prime prime(0) q^prime prime(0).

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado: estamos em P2( R) (polinômios de grau ≤ 2) e a operação definida é lang<= p,qrang<= = p(0)q(0) + p'(0)q'(0) + p''(0)q''(0). O conteúdo é produto interno em espaços vetoriais, e precisaremos checar simetria, bilinearidade e positividade definida.

Passo 2

Verificamos a simetria: para quaisquer p,q vale
lang<= p,qrang<= = p(0)q(0) + p'(0)q'(0) + p''(0)q''(0) = q(0)p(0) + q'(0)p'(0) + q''(0)p''(0) = lang<= q,prang<=,
logo a simetria está garantida.

Passo 3

Agora a linearidade (bilinearidade) em, digamos, primeiro argumento: para escalares a,b e polinômios p1,p2,q,
lang<= a p1 + b p2, qrang<= = (a p1(0) + b p2(0))q(0) + (a p1'(0) + b p2'(0))q'(0) + (a p1''(0) + b p2''(0))q''(0), que se distribui em
al[p1(0)q(0)+p1'(0)q'(0)+p1''(0)q''(0)r] + bl[p2(0)q(0)+p2'(0)q'(0)+p2''(0)q''(0)r] = alang<= p1,qrang<= + blang<= p2,qrang<= Como é simétrico, a linearidade no segundo argumento segue também. Portanto é bilinear.

Passo 4

Falta verificar a positividade definida: para pneq 0 temos
lang<= p,prang<= = p(0)^2 + p'(0)^2 + p''(0)^2 >= 0 E só será zero se simultaneamente p(0)=0, p'(0)=0 e p''(0)=0. Escrevendo p(x)=ax^2+bx+c, isso implica c=0, b=0 e 2a=0, logo a=0. Assim p é o polinômio nulo. A positividade definida vale.

Passo 5

Como todas as propriedades (simetria, bilinearidade e positividade definida) estão satisfeitas, de fato essa fórmula define um produto interno em P2( R).

Resposta

A expressão dada satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, logo é um produto interno.

Exercícios relacionados