Exercício 2 Diga quais das expressões abaixo define um produto interno. Indique a propriedade que não vale caso não seja produto.
.
Passo 1
O exercício pede para verificar se a aplicação
em
satisfaz as três propriedades de um produto interno real: bilinearidade, simetria e positividade definida.
Passo 2
Primeiro vamos checar a bilinearidade (linearidade em cada argumento). Para quaisquer vetores
,
e
e escalar
:
Verificamos
Verificamos
e
Como em espaços reais a simetria traz linearidade no segundo argumento, concluímos que a forma é bilinear.
Passo 3
Agora checamos a simetria. Para quaisquer
e
:
Logo, a aplicação é simétrica.
Passo 4
Por fim, testamos a positividade definida calculando
. Para
temos:
Observe que para o vetor
temos
ou seja,
pode ser negativo para vetores não nulos. Portanto falha a condição de positividade.
Passo 5
Como a positividade definida é violada, a expressão não é um produto interno em
.
Resposta
Não define um produto interno, pois falha a positividade definida (por exemplo,
).