Exercício 2 Diga quais das expressões abaixo define um produto interno. Indique a propriedade que não vale caso não seja produto.
E m R^3:lang<=(x, y, z),(a, b, c)rang<==-x a+y b+z c.

Passo 1

O exercício pede para verificar se a aplicação lang<=(x,y,z),(a,b,c)rang<==-x a+y b+z c em R^3 satisfaz as três propriedades de um produto interno real: bilinearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

Primeiro vamos checar a bilinearidade (linearidade em cada argumento). Para quaisquer vetores u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2) e w=(a,b,c) e escalar alpha:
Verificamos
lang<= u+v, wrang<= = - (x1+x2)a + (y1+y2)b + (z1+z2)c = l(-x1a+y1b+z1cr) + l(-x2a+y2b+z2cr) = lang<= u,wrang<= + lang<= v,wrang<=
e
lang<= alpha u, wrang<= = - (alpha x1)a + (alpha y1)b + (alpha z1)c = alphal(-x1a+y1b+z1cr) = alphalang<= u,wrang<=
Como em espaços reais a simetria traz linearidade no segundo argumento, concluímos que a forma é bilinear.

Passo 3

Agora checamos a simetria. Para quaisquer u=(x,y,z) e v=(a,b,c):
lang<= u,vrang<= = -xa + yb + zc,
lang<= v,urang<= = -ax + by + cz = -xa + yb + zc = lang<= u,vrang<=
Logo, a aplicação é simétrica.

Passo 4

Por fim, testamos a positividade definida calculando lang<= u,urang<=. Para u=(x,y,z) temos:
lang<= u,urang<= = -x^2 + y^2 + z^2
Observe que para o vetor (1,0,0) temos
lang<=(1,0,0),(1,0,0)rang<= = -1 < 0,
ou seja, lang<= u,urang<= pode ser negativo para vetores não nulos. Portanto falha a condição de positividade.

Passo 5

Como a positividade definida é violada, a expressão não é um produto interno em R^3.

Resposta

Não define um produto interno, pois falha a positividade definida (por exemplo, lang<=(1,0,0),(1,0,0)rang<==-1<0).

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