Exercício 6. Em cada caso, calcule o limite, se existir.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(h-3)^{3}-9}{h}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{h\to 0} \frac{(h-3)^{3}-9}{h}.
Informações dadas:
  • A expressão no numerador é (h-3)^{3}-9.
  • A variável que tende a zero é h.
    Objetivo: decidir se o limite existe e, se existir, encontrar o seu valor.

Passo 2

Tentar substituição direta: avaliar numerador em h=0.
(h-3)^{3}-9\Big|_{h=0} = (-3)^{3}-9 = -27-9 = -36.
O denominador em h=0 é 0. Portanto ao fazer h\to 0 temos um comportamento do tipo “número finito não nulo dividido por algo que tende a zero”. Isso NÃO é a forma indeterminada 0/0; é um caso em que o quociente tende a infinito em módulo (o sinal depende do lado). Uma lembrança prática: \lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h} não existe como número finito — tem sinais opostos nos lados direito e esquerdo ( +\infty e -\infty).

Passo 3

Para entender o sinal da expressão quando h é pequeno, vamos expandir o numerador (isso também mostra que ele realmente tende para -36 quando h\to 0):
(h-3)^{3} = h^{3}-9h^{2}+27h-27,
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(h-3)^{3}-9 = h^{3}-9h^{2}+27h-36.
Quando h é próximo de 0, os termos h^{3}, -9h^{2} e 27h são pequenos em comparação com -36. Assim, para h suficientemente pequeno (tanto positivo quanto negativo) o numerador permanece próximo de -36 — ou seja, é negativo.

Passo 4

Analisar os limites laterais usando o sinal do numerador e do denominador:
  • Para h\to 0^{+}: o numerador é aproximadamente -36 (negativo) e o denominador h é positivo e tende a 0^{+}. Assim o quociente tende para -\infty. Em símbolos:
\lim_{h\to 0^{+}} \frac{(h-3)^{3}-9}{h} = -\infty.
  • Para h\to 0^{-}: o numerador continua aproximadamente -36 (negativo) e o denominador h é negativo e tende a 0^{-}. Assim o quociente tende para +\infty. Em símbolos:
\lim_{h\to 0^{-}} \frac{(h-3)^{3}-9}{h} = +\infty.

Passo 5

Como os limites laterais não coincidem ( -\infty à direita e +\infty à esquerda), o limite bilateral \lim_{h\to 0} não existe (diverge).

Resposta

Não existe; \lim_{h\to 0^{+}}\frac{(h-3)^{3}-9}{h}=-\infty e \lim_{h\to 0^{-}}\frac{(h-3)^{3}-9}{h}=+\infty.

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