O denominador em h=0 é 0. Portanto ao fazer h\to 0 temos um comportamento do tipo “número finito não nulo dividido por algo que tende a zero”. Isso NÃO é a forma indeterminada 0/0; é um caso em que o quociente tende a infinito em módulo (o sinal depende do lado). Uma lembrança prática: \lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h} não existe como número finito — tem sinais opostos nos lados direito e esquerdo (+\infty e -\infty).
Passo 3
Para entender o sinal da expressão quando h é pequeno, vamos expandir o numerador (isso também mostra que ele realmente tende para -36 quando h\to 0):
(h-3)^{3} = h^{3}-9h^{2}+27h-27,
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(h-3)^{3}-9 = h^{3}-9h^{2}+27h-36.
Quando h é próximo de 0, os termos h^{3}, -9h^{2} e 27h são pequenos em comparação com -36. Assim, para h suficientemente pequeno (tanto positivo quanto negativo) o numerador permanece próximo de -36 — ou seja, é negativo.
Passo 4
Analisar os limites laterais usando o sinal do numerador e do denominador:
Para h\to 0^{+}: o numerador é aproximadamente -36 (negativo) e o denominador h é positivo e tende a 0^{+}. Assim o quociente tende para -\infty. Em símbolos:
Para h\to 0^{-}: o numerador continua aproximadamente -36 (negativo) e o denominador h é negativo e tende a 0^{-}. Assim o quociente tende para +\infty. Em símbolos: