Exercício 6. Em cada caso, calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é a razão de dois polinômios: numerador
e denominador . - O ponto de interesse é
.
O que precisamos entregar: o valor numérico do limite, se ele existir.
Passo 2
Teste de substituição direta (primeiro passo padrão para limites de funções racionais): avaliar numerador e denominador em
.
Como obtemos a forma
, o limite é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir nada pela substituição direta; é preciso manipular a expressão (geralmente fatorando e simplificando) para remover a indeterminação.
Breve explicação didática: quando uma razão de polinômios dá
ao substituir, geralmente há um fator comum no numerador e denominador que se anula em
. Podemos fatorar e cancelar esse fator para obter uma expressão equivalente para
que permita o cálculo do limite.
Passo 3
Fatorar os polinômios. Começo pelo denominador, que é uma diferença de quadrados:
Agora fatorar o numerador
. Procuro dois fatores lineares
com
e
, que dêem termo cruzado
. Testando por inspeção:
Logo a fatoração é correta.
Passo 4
Reescrever a fração com as fatorações encontradas:
Para
é permitido cancelar o fator comum
, obtendo a função simplificada equivalente (em todo ponto exceto
):
Explicação didática: cancelar
é válido porque o limite olha para valores de
próximos de
, não exatamente em
. Depois de simplificar, podemos avaliar o limite na função simplificada.
Passo 5
Agora calcular o limite da função simplificada:
Como a nova expressão é contínua no entorno de
(exceto no próprio ponto, onde a original pode não estar definida), podemos fazer substituição direta:
Passo 6
Interpretação final e observação extra: o limite existe e vale
. A função original tem uma descontinuidade removível em
(porque ao simplificar aparece um valor finito). Se a função original fosse definida em
igual a
então ela ficaria contínua naquele ponto.
Força aí — você conseguiu! Esse tipo de limite costuma aparecer muito na prova: fatorar e cancelar é a técnica central quando aparece
.