Exercício 6. Em cada caso, calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow-5} \frac{2 x^{2}+9 x-5}{x^{2}-25}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to-5}\frac{2x^{2}+9x-5}{x^{2}-25}.
Informações dadas:
  • A função considerada é a razão de dois polinômios: numerador 2x^{2}+9x-5 e denominador x^{2}-25.
  • O ponto de interesse é x\to-5.
O que precisamos entregar: o valor numérico do limite, se ele existir.

Passo 2

Teste de substituição direta (primeiro passo padrão para limites de funções racionais): avaliar numerador e denominador em x=-5.
\text{Numerador em }x=-5:\quad 2(-5)^{2}+9(-5)-5 = 2\cdot25 -45 -5 = 50-45-5 = 0.
\text{Denominador em }x=-5:\quad (-5)^{2}-25 = 25-25 = 0.
Como obtemos a forma \tfrac{0}{0}, o limite é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir nada pela substituição direta; é preciso manipular a expressão (geralmente fatorando e simplificando) para remover a indeterminação.
Breve explicação didática: quando uma razão de polinômios dá \tfrac{0}{0} ao substituir, geralmente há um fator comum no numerador e denominador que se anula em x=-5. Podemos fatorar e cancelar esse fator para obter uma expressão equivalente para x\neq -5 que permita o cálculo do limite.

Passo 3

Fatorar os polinômios. Começo pelo denominador, que é uma diferença de quadrados:
x^{2}-25 = (x-5)(x+5).
Agora fatorar o numerador 2x^{2}+9x-5. Procuro dois fatores lineares (ax+b)(cx+d) com ac=2 e bd=-5, que dêem termo cruzado 9x. Testando por inspeção:
(2x-1)(x+5) = 2x^{2}+10x -x -5 = 2x^{2}+9x-5.
Logo a fatoração é correta.

Passo 4

Reescrever a fração com as fatorações encontradas:
\frac{2x^{2}+9x-5}{x^{2}-25} = \frac{(2x-1)(x+5)}{(x-5)(x+5)}.
Para x\neq -5 é permitido cancelar o fator comum (x+5), obtendo a função simplificada equivalente (em todo ponto exceto x=-5):
\frac{(2x-1)(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{2x-1}{x-5},\qquad \text{para } x\neq -5.
Explicação didática: cancelar (x+5) é válido porque o limite olha para valores de x próximos de -5, não exatamente em -5. Depois de simplificar, podemos avaliar o limite na função simplificada.

Passo 5

Agora calcular o limite da função simplificada:
\lim_{x\to-5}\frac{2x-1}{x-5}.
Como a nova expressão é contínua no entorno de x=-5 (exceto no próprio ponto, onde a original pode não estar definida), podemos fazer substituição direta:
\frac{2(-5)-1}{-5-5} = \frac{-10-1}{-10} = \frac{-11}{-10} = \frac{11}{10}.

Passo 6

Interpretação final e observação extra: o limite existe e vale \tfrac{11}{10}. A função original tem uma descontinuidade removível em x=-5 (porque ao simplificar aparece um valor finito). Se a função original fosse definida em x=-5 igual a \tfrac{11}{10} então ela ficaria contínua naquele ponto.
Força aí — você conseguiu! Esse tipo de limite costuma aparecer muito na prova: fatorar e cancelar é a técnica central quando aparece \tfrac{0}{0}.

Resposta

\dfrac{11}{10}

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