Exercício 6. Em cada caso, calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- O numerador é a expressão
. - O denominador é a expressão
.
Pergunta: existe o limite quandotende a ? Se existir, qual é o seu valor?
Passo 2
Primeira tentativa natural: substituir
diretamente (teste de continuidade). Calcular o numerador e o denominador em
:
Obtemos a forma
, que é uma indeterminação. Então não podemos concluir apenas pela substituição; precisamos manipular algebricamente para simplificar a expressão.
Explicação didática curta: quando uma fração racional dá
em um ponto, frequentemente isso acontece porque tanto o numerador quanto o denominador têm um fator comum
. Pelo Teorema do Resto / Teorema do Fator: se
então
divide
. Aqui, como avaliar em
deu zero para ambos, faz sentido tentar dividir numerador e denominador por
.
Passo 3
Vamos dividir o numerador por
e o denominador por
. Para polinômios é prático usar a divisão sintética (ou divisão polinomial). Faço a divisão sintética com
.
Numerador: coeficientes de
são
.
Aplicando divisão sintética por :
Aplicando divisão sintética por
- Trago
. - Multiplico por
: . Somo ao próximo coeficiente: . - Multiplico por
: . Somo: . - Multiplico por
: . Somo: . - Multiplico por
: . Somo: (resto zero, confirma que é fator).
O quociente tem coeficientes
, ou seja o polinômio
Portanto
Denominador: coeficientes de
são
.
Divisão sintética por :
Divisão sintética por
- Trago
. - Multiplico por
: . Somo: . - Multiplico por
: . Somo: . - Multiplico por
: . Somo: . - Multiplico por
: . Somo: (resto zero).
O quociente tem coeficientes
, ou seja o polinômio
Portanto
Passo 4
Agora escrevemos a expressão original usando essas fatorações:
Para
podemos cancelar o fator comum
, obtendo a função equivalente em vizinhança de
(exceto em
exatamente):
Explicação didática curta: depois de cancelar o fator que causa a indeterminação, restou uma função racional cujo denominador no ponto
é diferente de zero (vamos verificar), e polinômios são contínuos. Assim o limite quando
é simplesmente o valor dessa função no ponto
.
Passo 5
Avaliar os polinômios no numerador e denominador após cancelamento em
:
Numerador reduzido:
Denominador reduzido:
Como o denominador é
, a função reduzida é contínua em
e o limite é o quociente desses valores: