Exercício 6. Em cada caso, calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-4 x-8}{x^{4}-3 x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2} \frac{x^{4}-4x-8}{x^{4}-3x^{2}-4}.
Informações dadas:
  • O numerador é a expressão \,x^{4}-4x-8.
  • O denominador é a expressão \,x^{4}-3x^{2}-4.
    Pergunta: existe o limite quando x tende a 2? Se existir, qual é o seu valor?

Passo 2

Primeira tentativa natural: substituir x=2 diretamente (teste de continuidade). Calcular o numerador e o denominador em x=2:
\text{numerador}(2)=2^{4}-4\cdot 2-8=16-8-8=0,
\text{denominador}(2)=2^{4}-3\cdot 2^{2}-4=16-12-4=0.
Obtemos a forma 0/0, que é uma indeterminação. Então não podemos concluir apenas pela substituição; precisamos manipular algebricamente para simplificar a expressão.
Explicação didática curta: quando uma fração racional dá 0/0 em um ponto, frequentemente isso acontece porque tanto o numerador quanto o denominador têm um fator comum (x-a). Pelo Teorema do Resto / Teorema do Fator: se f(a)=0 então (x-a) divide f(x). Aqui, como avaliar em x=2 deu zero para ambos, faz sentido tentar dividir numerador e denominador por (x-2).

Passo 3

Vamos dividir o numerador por (x-2) e o denominador por (x-2). Para polinômios é prático usar a divisão sintética (ou divisão polinomial). Faço a divisão sintética com x=2.
Numerador: coeficientes de x^{4}-4x-8 são 1,0,0,-4,-8.
Aplicando divisão sintética por 2:
  • Trago 1.
  • Multiplico por 2: 1\cdot 2=2. Somo ao próximo coeficiente: 0+2=2.
  • Multiplico por 2: 2\cdot 2=4. Somo: 0+4=4.
  • Multiplico por 2: 4\cdot 2=8. Somo: -4+8=4.
  • Multiplico por 2: 4\cdot 2=8. Somo: -8+8=0 (resto zero, confirma que (x-2) é fator).
O quociente tem coeficientes 1,2,4,4, ou seja o polinômio
x^{3}+2x^{2}+4x+4.
Portanto
x^{4}-4x-8=(x-2)\bigl(x^{3}+2x^{2}+4x+4\bigr).
Denominador: coeficientes de x^{4}-3x^{2}-4 são 1,0,-3,0,-4.
Divisão sintética por 2:
  • Trago 1.
  • Multiplico por 2: 1\cdot 2=2. Somo: 0+2=2.
  • Multiplico por 2: 2\cdot 2=4. Somo: -3+4=1.
  • Multiplico por 2: 1\cdot 2=2. Somo: 0+2=2.
  • Multiplico por 2: 2\cdot 2=4. Somo: -4+4=0 (resto zero).
O quociente tem coeficientes 1,2,1,2, ou seja o polinômio
x^{3}+2x^{2}+x+2.
Portanto
x^{4}-3x^{2}-4=(x-2)\bigl(x^{3}+2x^{2}+x+2\bigr).

Passo 4

Agora escrevemos a expressão original usando essas fatorações:
\frac{x^{4}-4x-8}{x^{4}-3x^{2}-4} =\frac{(x-2)\bigl(x^{3}+2x^{2}+4x+4\bigr)}{(x-2)\bigl(x^{3}+2x^{2}+x+2\bigr)}.
Para x\neq 2 podemos cancelar o fator comum (x-2), obtendo a função equivalente em vizinhança de 2 (exceto em 2 exatamente):
\frac{x^{3}+2x^{2}+4x+4}{x^{3}+2x^{2}+x+2},\qquad x\neq 2.
Explicação didática curta: depois de cancelar o fator que causa a indeterminação, restou uma função racional cujo denominador no ponto x=2 é diferente de zero (vamos verificar), e polinômios são contínuos. Assim o limite quando x\to 2 é simplesmente o valor dessa função no ponto 2.

Passo 5

Avaliar os polinômios no numerador e denominador após cancelamento em x=2:
Numerador reduzido:
(2)^{3}+2(2)^{2}+4(2)+4 = 8+8+8+4 = 28.
Denominador reduzido:
(2)^{3}+2(2)^{2}+ (2)+2 = 8+8+2+2 = 20.
Como o denominador é 20\neq 0, a função reduzida é contínua em x=2 e o limite é o quociente desses valores:
\lim_{x\to 2}\frac{x^{4}-4x-8}{x^{4}-3x^{2}-4}=\frac{28}{20}=\frac{7}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{5}

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