Exercício 3. Em cada caso, suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada, usando operações elementares nas linhas, na matriz escalonada reduzida dada. Resolva o sistema correspondente.
[ccccc|c1 & 7 & 0 & 0 & -8 & -3 0 & 0 & 1 & 0 & 6 & 5 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 9 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0]

Passo 1

O enunciado fornece a forma reduzida por linhas da matriz aumentada de um sistema com cinco incógnitas (x1,x2,x3,x4,x5) e pede que a gente resolva o sistema correspondente. Vamos usar o fato de que cada linha não nula dá uma equação linear entre as variáveis.

Passo 2

Das três linhas não nulas lemos diretamente as equações:
x1 + 7x2 ;-; 8x5 ;=;-3,
x3 + 6x5 ;=;5,
x4 + 3x5 ;=;9
A quarta linha só diz 0=0, que é trivial.

Passo 3

Identificamos quais colunas têm pivô (leading 1) e quais não têm. As colunas de x1, x3 e x4 têm pivô, então são variáveis básicas; as colunas de x2 e x5 não têm pivô, então são variáveis livres.

Passo 4

Expressamos as variáveis básicas em função das livres. Das equações acima vem:
x1 = -3 ;-;7x2 ;+;8x5,
x3 = 5 ;-;6x5,
x4 = 9 ;-;3x5

Passo 5

Para escrever a solução geral, definimos parâmetros para as variáveis livres. Seja x2 = s e x5 = t, com s,tin R. Então
(x1,x2,x3,x4,x5) = l(-3 -7s +8t,;s,;5 -6t,;9 -3t,;tr)
Uma forma vetorial é
x1 x2 x3 x4 x5 = -3 0 5 9 0 + s -7 1 0 0 0 + t 8 0 -6 -3 1

Resposta

A solução geral do sistema é
(x1,x2,x3,x4,x5) = l(-3 -7s +8t,;s,;5 -6t,;9 -3t,;tr),
com s,tin R.

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