Exercício 7.6 Em cada um dos casos abaixo, encontre uma base do espaço
contendo
.
$V=\mathbb{R}[t]_{3}, S=\left{1,1-t+t^{2}, 2 t-t^{2}\right}.
$V=\mathbb{R}[t]_{3}, S=\left{1,1-t+t^{2}, 2 t-t^{2}\right}.
Passo 1
O enunciado pede para estender o conjunto
para uma base de
,
ou seja, de dimensão .
Para isso precisamos (i) verificar que é linearmente independente e (ii) adicionar um polinômio de grau até 3 que não esteja no span de
.
para uma base de
ou seja, de dimensão
Para isso precisamos (i) verificar que
Passo 2
Para checar a independência linear, considere a combinação
Comparando coeficientes em cada potência de
Da terceira equação vem , e então
. Por fim
. Logo
, e
é linearmente independente.
Passo 3
Como
e já temos 3 vetores independentes em
, basta escolher um polinômio que não esteja no subespaço gerado por
. Uma escolha natural é
pois nenhum dos vetores de
tem termo de grau 3.
Passo 4
Concluímos que
é um conjunto de 4 polinômios independentes em
, logo forma uma base de
e contém
.