Exercício 7.6 Em cada um dos casos abaixo, encontre uma base do espaço V contendo S.
$V=\mathbb{R}[t]_{3}, S=\left{1,1-t+t^{2}, 2 t-t^{2}\right}.

Passo 1

O enunciado pede para estender o conjunto
S=1,;1 - t + t^2,;2t - t^2
para uma base de
V=R[t]3,
ou seja, de dimensão dim(V)=4.
Para isso precisamos (i) verificar que S é linearmente independente e (ii) adicionar um polinômio de grau até 3 que não esteja no span de S.

Passo 2

Para checar a independência linear, considere a combinação
Comparando coeficientes em cada potência de
Da terceira equação vem , e então . Por fim . Logo , e é linearmente independente.

Passo 3

Como dim(V)=4 e já temos 3 vetores independentes em S, basta escolher um polinômio que não esteja no subespaço gerado por S. Uma escolha natural é
t^3,
pois nenhum dos vetores de S tem termo de grau 3.

Passo 4

Concluímos que
,1,;1 - t + t^2,;2t - t^2,;t^3
é um conjunto de 4 polinômios independentes em V, logo forma uma base de V e contém S.

Resposta

,1,;1 - t + t^2,;2t - t^2,;t^3

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