Mostre que (1,0, a),(1,1, a),(1,1, a^2) subset R^3 é L.I. se a neq 0 e a neq 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto de vetores
,(1,0,a),,(1,1,a),,(1,1,a^2)subsetR^3
é linearmente independente (L.I.) sempre que aneq0 e aneq1.
Vamos usar o critério do determinante: se formarmos uma matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores, o conjunto será L.I. exatamente quando o determinante for não nulo.

Passo 2

Construímos a matriz M cujas linhas são os vetores dados:
M = 1 & 0 & a 1 & 1 & a 1 & 1 & a^2

Passo 3

Calculamos o determinante de M por expansão na primeira linha (regra de Sarrus também daria o mesmo):
det(M) =1cdot(1cdot a^2 - acdot1) -0cdot(1cdot a^2 - acdot1) +acdot(1cdot1 - 1cdot1)

Passo 4

Simplificando cada termo:
det(M) = (a^2 - a) + acdot0 = a^2 - a = a(a-1)
Logo, det(M)neq0 se, e somente se, aneq0 e aneq1.

Passo 5

Pelo critério do determinante, as linhas de M (que são exatamente os vetores dados) são L.I. se, e somente se, det(M)neq0. Portanto o conjunto é L.I. exatamente quando aneq0 e aneq1.

Resposta

O conjunto (1,0,a),(1,1,a),(1,1,a^2) é linearmente independente se, e somente se, aneq0 e aneq1.

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