Exercício 1. Mostrar, com um contraexemplo, que as proposições seguintes são falsas:
Todo polinômio de grau 2 tem duas raízes reais.
Todo polinômio de grau 2 tem duas raízes reais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a afirmação “todo polinômio de grau 2 tem duas raízes reais” é falsa. O conteúdo envolvido é a teoria de equações quadráticas e o critério do discriminante para existência de raízes reais.
Passo 2
Considere um polinômio genérico de grau 2
com
. As raízes reais dessa equação são dadas por
onde
é o discriminante. Sabemos que:
– se , há duas raízes reais distintas;
– se , há uma raiz real dupla;
– se , não há raízes reais.
– se
– se
– se
Passo 3
Para encontrar um contraexemplo, basta escolher
tais que
. Por exemplo, seja
logo
,
e
. Então
o que implica que
não tem nenhuma raiz real.
Resposta
Um contraexemplo é
, pois seu discriminante vale
e não admite nenhuma raiz real. Portanto, a proposição é falsa.