Exercício 1. Mostrar, com um contraexemplo, que as proposições seguintes são falsas:
Todo polinômio de grau 2 tem duas raízes reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a afirmação “todo polinômio de grau 2 tem duas raízes reais” é falsa. O conteúdo envolvido é a teoria de equações quadráticas e o critério do discriminante para existência de raízes reais.

Passo 2

Considere um polinômio genérico de grau 2
p(x)=ax^{2}+bx+c,
com a\neq0. As raízes reais dessa equação são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde
\Delta=b^{2}-4ac
é o discriminante. Sabemos que:
– se \Delta>0, há duas raízes reais distintas;
– se \Delta=0, há uma raiz real dupla;
– se \Delta<0, não há raízes reais.

Passo 3

Para encontrar um contraexemplo, basta escolher a,b,c tais que \Delta<0. Por exemplo, seja
p(x)=x^{2}+1,
logo a=1, b=0 e c=1. Então
\Delta=0^{2}-4\cdot1\cdot1=-4<0,
o que implica que p(x) não tem nenhuma raiz real.

Resposta

Um contraexemplo é p(x)=x^{2}+1, pois seu discriminante vale -4<0 e não admite nenhuma raiz real. Portanto, a proposição é falsa.

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