Exercício 3. Para cada declaração listados abaixo, dizer se é verdadeira ou falsa e demonstrar a conjectura emitido usando o raciocínio por contradição, contrapositiva, por exemplo, ou contra casos de disjunção.
Para qualquer diferente de zero x real. o número \frac{\sqrt{4 x^{2}+6}}{x} é diferente de dois.

Passo 1

O enunciado afirma que, para todo real x\neq0,
\frac{\sqrt{4x^{2}+6}}{x}\neq2.
O conteúdo aqui é álgebra elementar e argumentos de prova por contradição. Vamos usar as propriedades da raiz quadrada (sempre não negativa) e a técnica de assumir o contrário para chegar a uma contradição.

Passo 2

Fazemos prova por contradição. Suponha que exista algum x\neq0 tal que
\frac{\sqrt{4x^{2}+6}}{x}=2.
A partir disso, multiplicamos ambos os lados por x. Como não sabemos ainda o sinal de x, fica
\sqrt{4x^{2}+6}=2x.

Passo 3

Por definição de raiz quadrada, \sqrt{4x^{2}+6}\ge0. Logo o lado direito 2x também deve ser não negativo, o que implica
2x\ge0\quad\Longrightarrow\quad x\ge0.
Mas x\neq0, então x>0.

Passo 4

Como agora sabemos que x>0, podemos elevar ambos os lados da igualdade \sqrt{4x^{2}+6}=2x ao quadrado sem mudar o sentido, obtendo
4x^{2}+6 = (2x)^{2} = 4x^{2}.
Subtraindo 4x^{2} de ambos os lados tem-se
6 = 0,
o que é uma clara contradição.

Resposta

A afirmação é verdadeira: para todo real x\neq0,
\frac{\sqrt{4x^{2}+6}}{x}\neq2.

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