Exercício 3. Para cada declaração listados abaixo, dizer se é verdadeira ou falsa e demonstrar a conjectura emitido usando o raciocínio por contradição, contrapositiva, por exemplo, ou contra casos de disjunção.
Para qualquer diferente de zero
real. o número
é diferente de dois.
Para qualquer diferente de zero
Passo 1
O enunciado afirma que, para todo real
,
O conteúdo aqui é álgebra elementar e argumentos de prova por contradição. Vamos usar as propriedades da raiz quadrada (sempre não negativa) e a técnica de assumir o contrário para chegar a uma contradição.
Passo 2
Fazemos prova por contradição. Suponha que exista algum
tal que
A partir disso, multiplicamos ambos os lados por
. Como não sabemos ainda o sinal de
, fica
Passo 3
Por definição de raiz quadrada,
. Logo o lado direito
também deve ser não negativo, o que implica
Mas
, então
.
Passo 4
Como agora sabemos que
, podemos elevar ambos os lados da igualdade
ao quadrado sem mudar o sentido, obtendo
Subtraindo
de ambos os lados tem-se
o que é uma clara contradição.
Resposta
A afirmação é verdadeira: para todo real
,