Exercício 1. Mostrar, por um raciocínio de absurdo, a propriedade :
Não existem os reais a, b, c tais que : \forall x \in \mathbb{R}, e^{x}=a x^{2}+b x+c

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por um raciocínio de absurdo, que não existem reais a,b,c tais que para todo x\in\mathbb{R} valha
e^x = a\,x^2 + b\,x + c.
O conteúdo envolvido é comparação de funções, uso de derivadas e prova por contradição.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que existam a,b,c\in\mathbb{R} tais que
e^x = a\,x^2 + b\,x + c \quad\forall x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Como a igualdade é válida para todo x, podemos derivar ambos os lados duas vezes:
Primeira derivada
\frac{d}{dx}e^x = \frac{d}{dx}\bigl(a\,x^2 + b\,x + c\bigr) \;\Longrightarrow\; e^x = 2a\,x + b.
Segunda derivada
\frac{d}{dx}e^x = \frac{d}{dx}(2a\,x + b) \;\Longrightarrow\; e^x = 2a.

Passo 4

A equação
e^x = 2a
implica que o lado esquerdo varia com x (não é constante), enquanto o lado direito é a constante 2a. Isso é impossível para todo x. Logo chegamos a uma contradição.

Passo 5

A suposição de que existam a,b,c satisfazendo a igualdade leva a essa contradição, portanto é falsa.

Resposta

Não existem a,b,c\in\mathbb{R} tais que \forall x\in\mathbb{R},\,e^x = a\,x^2 + b\,x + c.

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