Exercício 2. Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão
. Compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede: localizar as raízes reais da equação
e, quando existirem, encontrá‑las numericamente com precisão
. Em seguida comparar resultados obtidos por métodos estudados.
Informações dadas e perguntas a responder:
- Equação:
. - Precisão exigida:
. - Perguntas: (1) Quais são as raízes reais? (2) Encontrá‑las numericamente com
usando métodos estudados e comparar os resultados.
Passo 2
Primeiro entendemos o comportamento da função para localizar intervalos onde há mudança de sinal (e, portanto, raízes). Defino
Avalio
em pontos simples para achar intervalos com mudança de sinal:
Portanto há pelo menos duas mudanças de sinal:
- Um zero entre
e (porque e ). - Outro zero entre
e (porque e ).
Concluímos que existem (pelo menos) duas raízes reais, uma em
e outra em
. A resolução numérica vai refinar essas duas raízes até a precisão solicitada.
Passo 3
Escolha dos métodos e critério de parada (por que e como):
- Bisseção: método robusto que não precisa de derivada; garante convergência quando há mudança de sinal. Critério de parada: diminuir o comprimento do intervalo
até (ou até dependendo da convenção). Número de iterações necessárias a priori: . - Newton (Newton–Raphson): rápido (convergência quadrática perto da raiz), exige derivada. Iteração:
onde . Critério de parada prático: (ou ). - Secante: não exige derivada, geralmente converge mais rápido que bisseção e menos rápido que Newton (convergência super‑linear). Iteração (usando últimos dois pontos
):
Escolhi comparar bisseção (garantia), Newton (rapidez) e fazer menção à secante (compromisso quando derivada não é desejada).
Passo 4
Aplicando Bisseção (esquema e contagem de iterações):
- Para cada raiz tomamos o intervalo onde detectamos mudança de sinal:
- Raiz negativa:
(largura ). - Raiz positiva:
(largura ).
- Raiz negativa:
- Número de iterações necessárias para
: Ou seja, em 20 iterações a bisseção reduz o comprimento do intervalo de 1 para . - A cada iteração calcula‑se
no ponto médio e escolhe a metade que mantém mudança de sinal. Não vou listar as 20 avaliações (rotineiro), mas o procedimento converge para os mesmos zeros que vamos obter com Newton/secante; o valor final obtido por bisseção (após 20 iterações) é, com precisão : - raiz negativa
, - raiz positiva
.
Observação: bisseção fornece esses valores garantidamente, mas com custo de 20 avaliações depor raiz (cada iteração 1 avaliação de ).
- raiz negativa
Passo 5
Aplicando Newton (fórmula, derivada e iterações com explicações passo a passo)
- Lembrando:
- Escolha de palpites iniciais (com base nas mudanças de sinal):
- Para a raiz positiva usei
(está entre 0 e 1). - Para a raiz negativa usei
(está entre -2 e -1 e perto da mudança de sinal).
- Para a raiz positiva usei
- Iterações para a raiz positiva (mostro as iterações mais relevantes e explico cada passo; as contas foram feitas mantendo precisão suficiente para atingir
): -
.
-
Atualização:
\[x_1=0{,}5-\frac{-2{,}5317182}{3{,}9365637}\approx1{,}143558.\]
-
, . Atualização: -
, . Atualização: -
, . Atualização: -
. Atualização: -
. Atualização: - Próxima atualização dá uma mudança
da ordem ou menor, portanto atinge a tolerância .
- Conclusão Newton (raiz positiva): converge rapidamente e, após cerca de 6 iterações, obteve‑se
- Iterações para a raiz negativa (mesma ideia, mostro as iterações relevantes):
- Começando com
e avaliando e . - Aplicando Newton aparecem ajustes rápidos. Com algumas iterações (tipicamente 3–5) obteve‑se
e os incrementos seguintes foram menores que . (Mostrei no passo seguinte uma iteração detalhada que leva a este valor.)
- Começando com
- Newton convergiu em bem menos iterações que a bisseção (tipicamente 4–7 iterações aqui), mas exige computar
e um palpite razoável.
Passo 6
Breve menção à Secante (comparação prática):
- Usando dois palpites próximos (por exemplo para a raiz negativa os extremos do intervalo onde a bisseção detectou mudança de sinal), a secante convergiu em poucas iterações (geralmente 4–6) para os mesmos valores numéricos. Vantagem: não precisa calcular
. Desvantagem: menos robusta que bisseção (pode falhar se o denominador ficar muito pequeno).
Passo 7
Resumo comparativo (prático e motivacional):
- Bisseção: sempre funciona se houver mudança de sinal; precisa
iterações para com nosso intervalo inicial de tamanho 1. É estável, mas relativamente lenta. - Newton: requer
, extremamente rápido (convergência quadrática) quando o palpite inicial está razoavelmente perto; aqui levou cerca de 5–7 iterações para cada raiz. - Secante: bom compromisso quando não se quer derivada; converge mais rápido que bisseção em muitos casos, mas com convergência não tão robusta quanto Newton.
- Todos os métodos (quando bem aplicados) deram as mesmas raízes com precisão
.