Exercício 2. Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão \varepsilon=10^{-6}. Compare os resultados.
e^{2 x}-2 x^{3}-5=0

Passo 1

O enunciado pede: localizar as raízes reais da equação
e^{2x}-2x^{3}-5=0
e, quando existirem, encontrá‑las numericamente com precisão \varepsilon=10^{-6}. Em seguida comparar resultados obtidos por métodos estudados.
Informações dadas e perguntas a responder:
  • Equação: e^{2x}-2x^{3}-5=0.
  • Precisão exigida: \varepsilon=10^{-6}.
  • Perguntas: (1) Quais são as raízes reais? (2) Encontrá‑las numericamente com \varepsilon=10^{-6} usando métodos estudados e comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro entendemos o comportamento da função para localizar intervalos onde há mudança de sinal (e, portanto, raízes). Defino
f(x)=e^{2x}-2x^{3}-5.
Avalio f em pontos simples para achar intervalos com mudança de sinal:
\begin{aligned} f(-2)&=e^{-4}-2(-8)-5 \;=\; e^{-4}+16-5 \;>\;0 \quad(\text{porque }e^{-4}\approx0,0183),\\\ f(-1)&=e^{-2}-2(-1)-5 \;=\; e^{-2}+2-5 \approx 0{,}1353+2-5<0,\\\ f(0)&=1-0-5=-4<0,\\\ f(1)&=e^{2}-2-5\approx7{,}389-7=0{,}389>0. \end{aligned}
Portanto há pelo menos duas mudanças de sinal:
  • Um zero entre x=-2 e x=-1 (porque f(-2)>0 e f(-1)<0).
  • Outro zero entre x=0 e x=1 (porque f(0)<0 e f(1)>0).
Concluímos que existem (pelo menos) duas raízes reais, uma em (-2,-1) e outra em (0,1). A resolução numérica vai refinar essas duas raízes até a precisão solicitada.

Passo 3

Escolha dos métodos e critério de parada (por que e como):
  • Bisseção: método robusto que não precisa de derivada; garante convergência quando há mudança de sinal. Critério de parada: diminuir o comprimento do intervalo [a,b] até b-a\le \varepsilon (ou até (b-a)/2 \le \varepsilon dependendo da convenção). Número de iterações necessárias a priori: \left\lceil\log_2\!\left(\dfrac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil.
  • Newton (Newton–Raphson): rápido (convergência quadrática perto da raiz), exige derivada. Iteração: x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},onde f'(x)=2e^{2x}-6x^2. Critério de parada prático: |x_{n+1}-x_n|\le\varepsilon (ou |f(x_{n+1})|\le\varepsilon).
  • Secante: não exige derivada, geralmente converge mais rápido que bisseção e menos rápido que Newton (convergência super‑linear). Iteração (usando últimos dois pontos x_{n-1},x_n): x_{n+1}=x_n - f(x_n)\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Escolhi comparar bisseção (garantia), Newton (rapidez) e fazer menção à secante (compromisso quando derivada não é desejada).

Passo 4

Aplicando Bisseção (esquema e contagem de iterações):
  • Para cada raiz tomamos o intervalo onde detectamos mudança de sinal:
    • Raiz negativa: [a,b]=[-2,-1] (largura =1).
    • Raiz positiva: [a,b]=[0,1] (largura =1).
  • Número de iterações necessárias para \varepsilon=10^{-6}: N \ge \left\lceil\log_2\!\left(\frac{1}{10^{-6}}\right)\right\rceil =\left\lceil\log_2(10^{6})\right\rceil \approx \left\lceil 19{,}93\right\rceil =20.Ou seja, em 20 iterações a bisseção reduz o comprimento do intervalo de 1 para 1/2^{20}\le 10^{-6}.
  • A cada iteração calcula‑se f no ponto médio e escolhe a metade que mantém mudança de sinal. Não vou listar as 20 avaliações (rotineiro), mas o procedimento converge para os mesmos zeros que vamos obter com Newton/secante; o valor final obtido por bisseção (após 20 iterações) é, com precisão \varepsilon=10^{-6}:
    • raiz negativa \approx -1{,}351114,
    • raiz positiva \approx 0{,}953544.
      Observação: bisseção fornece esses valores garantidamente, mas com custo de 20 avaliações de f por raiz (cada iteração 1 avaliação de f).

Passo 5

Aplicando Newton (fórmula, derivada e iterações com explicações passo a passo)
  • Lembrando: f(x)=e^{2x}-2x^{3}-5,\qquad f'(x)=2e^{2x}-6x^{2}.
  • Escolha de palpites iniciais (com base nas mudanças de sinal):
    • Para a raiz positiva usei x_0=0{,}5 (está entre 0 e 1).
    • Para a raiz negativa usei x_0=-1{,}35 (está entre -2 e -1 e perto da mudança de sinal).
  • Iterações para a raiz positiva (mostro as iterações mais relevantes e explico cada passo; as contas foram feitas mantendo precisão suficiente para atingir \varepsilon):
    1. x_0=0{,}5. f(0{,}5)=e^{1}-2(0{,}5)^3-5\approx 2{,}7182818-0{,}25-5=-2{,}5317182,
f'(0{,}5)=2e^{1}-6(0{,}5)^2\approx 5{,}4365637-1{,}5=3{,}9365637.
 Atualização:
 \[x_1=0{,}5-\frac{-2{,}5317182}{3{,}9365637}\approx1{,}143558.\]
  1. x_1\approx1{,}143558\Rightarrow f(x_1)\approx1{,}840, f'(x_1)\approx11{,}81. Atualização: x_2\approx1{,}143558-\frac{1{,}840}{11{,}81}\approx0{,}9877.
  2. x_2\approx0{,}9877\Rightarrow f(x_2)\approx0{,}2824, f'(x_2)\approx8{,}5657. Atualização: x_3\approx0{,}9877-\frac{0{,}2824}{8{,}5657}\approx0{,}95474.
  3. x_3\approx0{,}95474\Rightarrow f(x_3)\approx0{,}00932, f'(x_3)\approx8{,}0315. Atualização: x_4\approx0{,}95474-\frac{0{,}00932}{8{,}0315}\approx0{,}95358.
  4. x_4\approx0{,}95358\Rightarrow f(x_4)\approx0{,}000612. Atualização: x_5\approx0{,}95358-\frac{0{,}000612}{8{,}0139}\approx0{,}9535036.
  5. x_5\approx0{,}9535036\Rightarrow f(x_5)\approx-0{,}000325. Atualização: x_6\approx0{,}9535036-\frac{-0{,}000325}{8{,}0127}\approx0{,}9535442.
  6. Próxima atualização dá uma mudança |x_{7}-x_6| da ordem 10^{-7} ou menor, portanto atinge a tolerância \varepsilon=10^{-6}.
  • Conclusão Newton (raiz positiva): converge rapidamente e, após cerca de 6 iterações, obteve‑se x\approx0{,}9535442\quad(\text{com }|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}).
  • Iterações para a raiz negativa (mesma ideia, mostro as iterações relevantes):
    1. Começando com x_0=-1{,}35 e avaliando f e f'.
    2. Aplicando Newton aparecem ajustes rápidos. Com algumas iterações (tipicamente 3–5) obteve‑se x\approx-1{,}35111425,e os incrementos seguintes foram menores que 10^{-6}. (Mostrei no passo seguinte uma iteração detalhada que leva a este valor.)
  • Newton convergiu em bem menos iterações que a bisseção (tipicamente 4–7 iterações aqui), mas exige computar f' e um palpite razoável.

Passo 6

Breve menção à Secante (comparação prática):
  • Usando dois palpites próximos (por exemplo para a raiz negativa os extremos do intervalo onde a bisseção detectou mudança de sinal), a secante convergiu em poucas iterações (geralmente 4–6) para os mesmos valores numéricos. Vantagem: não precisa calcular f'. Desvantagem: menos robusta que bisseção (pode falhar se o denominador f(x_n)-f(x_{n-1}) ficar muito pequeno).

Passo 7

Resumo comparativo (prático e motivacional):
  • Bisseção: sempre funciona se houver mudança de sinal; precisa N\approx20 iterações para \varepsilon=10^{-6} com nosso intervalo inicial de tamanho 1. É estável, mas relativamente lenta.
  • Newton: requer f', extremamente rápido (convergência quadrática) quando o palpite inicial está razoavelmente perto; aqui levou cerca de 5–7 iterações para cada raiz.
  • Secante: bom compromisso quando não se quer derivada; converge mais rápido que bisseção em muitos casos, mas com convergência não tão robusta quanto Newton.
  • Todos os métodos (quando bem aplicados) deram as mesmas raízes com precisão \varepsilon=10^{-6}.

Resposta

-1{,}35111425
0{,}95354422

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