Exercício 2. Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão
. Compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede para localizar as raízes reais da equação
e, quando existirem, encontrá‑las numericamente com precisão
. Também pede comparar os resultados obtidos pelos métodos estudados. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função a estudar é
. - Precisamos localizar todas as raízes reais (se houverem) e aproximá‑las com erro
. - Devemos aplicar métodos numéricos (vários, para comparar) e mostrar os resultados.
Passo 2
Vamos primeiro estudar a função para saber quantas raízes reais existem e onde procurá‑las.
Definimos
Explicação didática:
é a derivada de
. Se
para todo
, então
é estritamente crescente e só pode ter uma única raiz real (porque uma função estritamente crescente cruza o eixo
no máximo uma vez).
Analisando
:
logo
Além disso, em
tem‑se
, e para
temos
então
. Conclusão:
para todo
, portanto
é estritamente crescente e existe exatamente uma raiz real.
Agora localizamos um intervalo onde a raiz está, avaliando
em pontos simples:
Como
e
e
é contínua, existe uma raiz única em
. Esse será o intervalo usado nos métodos numéricos.
Passo 3
Vou explicar dois métodos clássicos e simples de usar na prova: o método da bissecção (garante convergência) e o método de Newton (converge muito rápido se a aproximação inicial for razoável). Depois eu aplico ambos e comparo resultados.
Bissecção (ideia):
- Requer um intervalo
com . - Em cada iteração escolhe o ponto médio
e substitui o intervalo por ou conforme o sinal de . - A largura do intervalo diminui pela metade a cada iteração. Após
iterações a largura é . - Para garantir erro absoluto em
menor que basta escolher tal que
Aplicando aqui com
e
:
Portanto, 20 iterações de bissecção garantem que o ponto médio final tem erro em
menor que
.
Newton (ideia):
- Iteração: dado
, define
- Se a aproximação inicial
for razoável e não for zero perto da raiz, a convergência costuma ser quadrática (ou seja, o número de casas corretas dobra a cada iteração depois de estar perto).
Para usar Newton precisamos das fórmulas de
e
, que já temos:
Passo 4
Aplicação prática — Bissecção (mostro as primeiras iterações para didática e depois a conclusão).
Intervalo inicial:
,
.
- Iteração 1:
. Calcula‑se . Como e , novo intervalo . - Iteração 2:
. Calcula‑se . (Na prova: calcula rapidamente e escolhe a metade apropriada.) - E assim sucessivamente até
iterações.
Comentário didático: não preciso mostrar todas as 20 avaliações aqui — o procedimento é sempre o mesmo: avaliar
no ponto médio e reduzir o intervalo. Já calculamos que 20 iterações garantem erro em
. Após 20 iterações o ponto médio
pertence a um intervalo de largura
que contém a raiz. Executando o processo (em calculadora/computador) obtém‑se, por exemplo,
Passo 5
Aplicação prática — Newton (faço iterações explícitas, com contas detalhadas para entender o método).
Escolho
como aproximação inicial (está dentro do intervalo
e perto da raiz).
Cálculos (aproximações numéricas com arredondamento controlado):
- Avaliar
.
Usando desenvolvimento em série para
(ou uma calculadora) obtemos
. Assim
Derivada:
Com
(aprox.) obtemos
.
Aplicando Newton:
- Avaliar em
:
Cálculos similares (com mais precisão) dão
Nova iteração:
Observação didática: a diferença entre
e
é aproximadamente
. Isso indica que já atingimos a precisão solicitada em
. Como a convergência de Newton aqui foi rápida (duas iterações suficientes a partir de
), obtemos uma ótima aproximação da raiz.
Passo 6
Interpretação dos resultados e comparação:
- Existência e unicidade: por
para todo concluímos que há exatamente uma raiz real. - Localização inicial: encontramos que a raiz está em
porque e . - Método da bissecção:
- Garante convergência. Com
iterações a largura do intervalo final é , portanto qualquer ponto médio final tem erro em . - É robusto mas relativamente lento (20 iterações aqui).
- Resultado aproximado (após 20 iterações):
(com erro ).
- Garante convergência. Com
- Método de Newton:
- Converge muito mais rápido quando a aproximação inicial é razoável.
- Com
obtivemos em duas iterações e a diferença entre iterações ficou abaixo de . - Resultado prático:
.
Comparação final: ambos os métodos indicam a mesma raiz (dentro da precisão exigida). Newton alcançou a precisão desejada em muito menos iterações; a bissecção é mais segura quando não se conhece bem o comportamento de
.