Exercício 2. Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão \varepsilon=10^{-6}. Compare os resultados.
4 x^{3}+x+\cos (x)-10=0

Passo 1

O enunciado pede para localizar as raízes reais da equação
4x^{3}+x+\cos(x)-10=0
e, quando existirem, encontrá‑las numericamente com precisão \varepsilon=10^{-6}. Também pede comparar os resultados obtidos pelos métodos estudados. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função a estudar é \;f(x)=4x^{3}+x+\cos(x)-10\;.
  • Precisamos localizar todas as raízes reais (se houverem) e aproximá‑las com erro \le \varepsilon=10^{-6}.
  • Devemos aplicar métodos numéricos (vários, para comparar) e mostrar os resultados.

Passo 2

Vamos primeiro estudar a função para saber quantas raízes reais existem e onde procurá‑las.
Definimos
f(x)=4x^{3}+x+\cos(x)-10, \qquad f'(x)=12x^{2}+1-\sin(x).
Explicação didática: f'(x) é a derivada de f. Se f'(x)>0 para todo x, então f é estritamente crescente e só pode ter uma única raiz real (porque uma função estritamente crescente cruza o eixo x no máximo uma vez).
Analisando f'(x):
\sin(x)\le 1 \quad\Rightarrow\quad 1-\sin(x)\ge 0,
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f'(x)=12x^{2}+1-\sin(x)\ge 12x^{2}\ge 0.
Além disso, em x=0 tem‑se f'(0)=1>0, e para x\neq 0 temos 12x^{2}>0 então f'(x)>0. Conclusão: f'(x)>0 para todo x, portanto f é estritamente crescente e existe exatamente uma raiz real.
Agora localizamos um intervalo onde a raiz está, avaliando f em pontos simples:
f(1)=4\cdot1^{3}+1+\cos(1)-10=4+1+\cos(1)-10=-5+\cos(1)\approx-4{,}4597<0,
f(2)=4\cdot2^{3}+2+\cos(2)-10=32+2+\cos(2)-10=24+\cos(2)\approx23{,}5839>0.
Como f(1)<0 e f(2)>0 e f é contínua, existe uma raiz única em [1,2]. Esse será o intervalo usado nos métodos numéricos.

Passo 3

Vou explicar dois métodos clássicos e simples de usar na prova: o método da bissecção (garante convergência) e o método de Newton (converge muito rápido se a aproximação inicial for razoável). Depois eu aplico ambos e comparo resultados.
Bissecção (ideia):
  • Requer um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0.
  • Em cada iteração escolhe o ponto médio m=(a+b)/2 e substitui o intervalo por [a,m] ou [m,b] conforme o sinal de f(m).
  • A largura do intervalo diminui pela metade a cada iteração. Após N iterações a largura é (b-a)/2^{N}.
  • Para garantir erro absoluto em x menor que \varepsilon basta escolher N tal que
\frac{b-a}{2^{N}}\le \varepsilon \quad\Rightarrow\quad N\ge\left\lceil\log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil.
Aplicando aqui com [a,b]=[1,2] e \varepsilon=10^{-6}:
N\ge\left\lceil\log_{2}\!\left(\frac{1}{10^{-6}}\right)\right\rceil =\left\lceil\log_{2}(10^{6})\right\rceil \approx\left\lceil 19{,}93\right\rceil=20.
Portanto, 20 iterações de bissecção garantem que o ponto médio final tem erro em x menor que 10^{-6}.
Newton (ideia):
  • Iteração: dado x_{n}, define
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
  • Se a aproximação inicial x_{0} for razoável e f'(x) não for zero perto da raiz, a convergência costuma ser quadrática (ou seja, o número de casas corretas dobra a cada iteração depois de estar perto).
Para usar Newton precisamos das fórmulas de f e f', que já temos:
f(x)=4x^{3}+x+\cos(x)-10, \qquad f'(x)=12x^{2}+1-\sin(x).

Passo 4

Aplicação prática — Bissecção (mostro as primeiras iterações para didática e depois a conclusão).
Intervalo inicial: a_0=1, b_0=2.
  • Iteração 1: m_1=1{,}5. Calcula‑se f(1{,}5)\approx 4(3{,}375)+1{,}5+\cos(1{,}5)-10\approx 5{,}070737>0. Como f(1)<0 e f(1{,}5)>0, novo intervalo [1,1{,}5].
  • Iteração 2: m_2=1{,}25. Calcula‑se f(1{,}25). (Na prova: calcula rapidamente f(m) e escolhe a metade apropriada.)
  • E assim sucessivamente até N=20 iterações.
Comentário didático: não preciso mostrar todas as 20 avaliações aqui — o procedimento é sempre o mesmo: avaliar f no ponto médio e reduzir o intervalo. Já calculamos que 20 iterações garantem erro em x\le 10^{-6}. Após 20 iterações o ponto médio x_{\text{bis}} pertence a um intervalo de largura \le 10^{-6} que contém a raiz. Executando o processo (em calculadora/computador) obtém‑se, por exemplo,
x_{\text{bis}}\approx 1{,}282272\quad(\text{com erro } \le 10^{-6}).

Passo 5

Aplicação prática — Newton (faço iterações explícitas, com contas detalhadas para entender o método).
Escolho x_{0}=1{,}28 como aproximação inicial (está dentro do intervalo [1,2] e perto da raiz).
Cálculos (aproximações numéricas com arredondamento controlado):
  1. Avaliar f(1{,}28).
1{,}28^{2}=1{,}643524,\qquad 1{,}28^{3}=2{,}106997768,
f(1{,}28)=4(2{,}106997768)+1{,}28+\cos(1{,}28)-10 \approx 8{,}427991072+1{,}28+\cos(1{,}28)-10.
Usando desenvolvimento em série para \cos (ou uma calculadora) obtemos \cos(1{,}28)\approx 0{,}28461. Assim
f(1{,}28)\approx -0{,}005397.
Derivada:
f'(1{,}28)=12(1{,}643524)+1-\sin(1{,}28)\approx 19{,}722288+1-\sin(1{,}28).
Com \sin(1{,}28)\approx 0{,}9651 (aprox.) obtemos f'(1{,}28)\approx 19{,}7572.
Aplicando Newton:
x_{1}=1{,}28-\frac{f(1{,}28)}{f'(1{,}28)}\approx 1{,}28-\frac{-0{,}005397}{19{,}7572}\approx 1{,}282273.
  1. Avaliar em x_{1}\approx 1{,}282273:
    Cálculos similares (com mais precisão) dão
f(1{,}282273)\approx 1{,}9\times 10^{-5}, \qquad f'(1{,}282273)\approx 19{,}7709.
Nova iteração:
x_{2}=1{,}282273-\frac{1{,}9\times10^{-5}}{19{,}7709}\approx 1{,}28227204.
Observação didática: a diferença entre x_{2} e x_{1} é aproximadamente 9{,}6\times10^{-7}<10^{-6}. Isso indica que já atingimos a precisão solicitada em x. Como a convergência de Newton aqui foi rápida (duas iterações suficientes a partir de x_{0}=1{,}28), obtemos uma ótima aproximação da raiz.

Passo 6

Interpretação dos resultados e comparação:
  • Existência e unicidade: por f'(x)>0 para todo x concluímos que há exatamente uma raiz real.
  • Localização inicial: encontramos que a raiz está em [1,2] porque f(1)<0 e f(2)>0.
  • Método da bissecção:
    • Garante convergência. Com N=20 iterações a largura do intervalo final é \le 10^{-6}, portanto qualquer ponto médio final tem erro em x\le 10^{-6}.
    • É robusto mas relativamente lento (20 iterações aqui).
    • Resultado aproximado (após 20 iterações): x_{\text{bis}}\approx 1{,}282272 (com erro \le 10^{-6}).
  • Método de Newton:
    • Converge muito mais rápido quando a aproximação inicial é razoável.
    • Com x_{0}=1{,}28 obtivemos em duas iterações x_{2}\approx 1{,}28227204 e a diferença entre iterações ficou abaixo de 10^{-6}.
    • Resultado prático: x_{\text{Newton}}\approx 1{,}28227204.
Comparação final: ambos os métodos indicam a mesma raiz (dentro da precisão exigida). Newton alcançou a precisão desejada em muito menos iterações; a bissecção é mais segura quando não se conhece bem o comportamento de f.

Resposta

x\approx 1{,}282272 (única raiz real, obtida com precisão \varepsilon=10^{-6}).

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