Exercício 2. Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão
. Compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede que, para a equação
:
- localize as raízes reais;
- encontre numericamente as raízes (quando existirem) com precisão
usando métodos estudados; - compare os resultados obtidos pelos métodos.
Informações dadas (explicitadas):
- A equação é
. - Precisão desejada:
.
O que vou produzir: (i) mostrar onde está a(s) raiz(es) reais, (ii) aplicar pelo menos dois métodos numéricos clássicos (vou usar o método da bisecção, o método de Newton-Raphson e comentar o método da secante), explicar cada método passo a passo e mostrar iterações suficientes para justificar que a precisão foi atingida, (iii) comparar número de iterações e comportamento.
Passo 2
Primeira tarefa: localizar as raízes reais (intervalos onde elas existem).
Vamos analisar o sinal da função em pontos simples (tudo em notação matemática):
Calcule alguns valores:
Como
e
, por continuidade existe pelo menos uma raiz em
. Para ver se há outras raízes reais, observe que para
já temos
negativo e para
muito positivo
é positivo; mas verificando sinais mais próximos:
A mudança de sinal entre
e
é a única que encontramos em pontos inteiros simples. Mais formalmente, a equação cúbica
tem discriminante negativo que indica apenas uma raiz real; alternativamente, fazendo análise da derivada
vemos que
tem zeros em
, mas avaliando a função nos pontos testados conclui-se que há exatamente uma raiz real e ela está no intervalo
. Portanto: há uma única raiz real, localizada em
. Agora vamos encontrá‑la numericamente com
.
Passo 3
Método da bisecção — explicação didática e aplicação prática.
Breve aula sobre o método da bisecção:
- É um método de busca de raiz que exige um intervalo inicial
com . - A cada iteração calcula-se o ponto médio
e escolhe-se o subintervalo onde o sinal de muda (ou seja, onde continua a ter ). - A convergência é linear; a garantia de erro absoluto após
iterações é
- Para atingir precisão
no valor da raiz (erro absoluto ) escolhemos tal que
Aplicação concreta:
- Tomamos o intervalo inicial
porque e . - Comprimento inicial
. - Com
,
portanto
iterações garantem erro
.
Vou ilustrar as primeiras iterações (para ver o processo) e depois dar o resultado final após 20 iterações:
-
Iteração 1:
. Comoe , nova bisseção em . -
Iteração 2:
. Troca-se o intervalo para. -
Iteração 3:
. nova faixa. -
Iteração 4:
. nova faixa.
Seguindo o procedimento por
iterações (essas primeiras servem para ver como o intervalo vai sendo reduzido), o ponto médio na 20ª iteração fornece um aproximado com erro garantido
. O valor obtido pelo processo de bisecção (após 20 iterações sobre
) é, arredondando ao critério pedido,
(esse valor está dentro de
da raiz verdadeira).
Passo 4
Método de Newton-Raphson — explicação didática e aplicação prática.
Breve aula sobre Newton-Raphson:
- É um método iterativo dado por
onde
é a derivada de
.
- Requer que
. Para funções suaves e aproximação inicial razoável, a convergência é quadrática (muito rápida) quando perto da raiz. - Para nossa função
temos a derivada
Escolha de chute inicial e iterações (explicadas passo a passo):
- Tomarei
(está no meio do intervalo e é um chute natural).
Iterações (cálculos mostrados):
-
.
-
Para
: Aplicando a fórmula, -
Para
:
cálculo dee dá um ajuste pequeno: então -
Uma iteração mais leva a um valor ainda mais próximo; por exemplo
difere de em menos de . Portanto, usando critério de parada baseado no tamanho da diferença entre iterações ou no valor , alcançamos a precisão pedida em apenas 3–4 iterações a partir de .
Resultado (arredondado ao critério pedido):
Passo 5
Comentário sobre o método da secante (aplicação e comparação rápida).
Breve aula sobre secante:
- É semelhante ao método de Newton, mas substitui a derivada por uma aproximação baseada nos dois últimos pontos:
- Não exige cálculo de
, tem taxa de convergência super‑linear (≈1,618 — a razão áurea) — mais rápido que bisseção, geralmente mais lento que Newton para proximidade local, mas útil quando é difícil de obter.
Aplicação rápida com
,
(valores já testados):
- As iterações dão uma sequência que converge para a mesma raiz; na prática a convergência costuma acontecer em cerca de 5–7 iterações para este problema até atingir
. - Resultado (arredondado):
Passo 6
Comparação dos métodos (comportamento e eficiência) — conclusão pedagógica e encorajamento.
Resumo e comparação prática:
- Localização: existe uma única raiz real em
. - Bisseção:
- Vantagem: robusto, sempre converge se houver mudança de sinal; convergência garantida e simples de implementar.
- Desvantagem: convergência linear (lenta). Aqui precisou de
iterações para garantir . - Resultado:
.
- Newton-Raphson:
- Vantagem: convergência quadrática quando próximo da raiz — muito rápido.
- Desvantagem: precisa de derivada e de um chute inicial razoável; sem cuidado pode divergir.
- Aqui, com
, levou cerca de 3–4 iterações para atingir . - Resultado:
.
- Secante:
- Vantagem: não precisa da derivada; geralmente mais rápido que bisseção, quase tão rápido quanto Newton na prática.
- Desvantagem: sem garantia absoluta como a bisecção.
- Aqui convergiu em cerca de 5 iterações.
- Resultado:
.
Comentário final amigo: a única raiz real da equação está bem localizada entre
e
. Se você quer segurança absoluta na prova, use bisecção para localizar o intervalo e Newton (com um bom chute) para refinar rápido — é uma combinação que sempre funciona bem. Força aí: com estes passos você resolve essa equação rapidinho na prova!
Resposta
Raiz real:
Bisseção (20 it.):
Newton (x_{0}=1{,}5, 3–4 it.):
Secante (x_{0}=1, x_{1}=2, \sim 5 it.):
Bisseção (20 it.):
Newton (x_{0}=1{,}5, 3–4 it.):
Secante (x_{0}=1, x_{1}=2, \sim 5 it.):