Exercício 2. Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão \varepsilon=10^{-6}. Compare os resultados.
x^{3}-x-1=0

Passo 1

O enunciado pede que, para a equação \,x^{3}-x-1=0\,:
  • localize as raízes reais;
  • encontre numericamente as raízes (quando existirem) com precisão \varepsilon=10^{-6} usando métodos estudados;
  • compare os resultados obtidos pelos métodos.
Informações dadas (explicitadas):
  • A equação é \,f(x)=x^{3}-x-1\,.
  • Precisão desejada: \varepsilon=10^{-6}.
O que vou produzir: (i) mostrar onde está a(s) raiz(es) reais, (ii) aplicar pelo menos dois métodos numéricos clássicos (vou usar o método da bisecção, o método de Newton-Raphson e comentar o método da secante), explicar cada método passo a passo e mostrar iterações suficientes para justificar que a precisão foi atingida, (iii) comparar número de iterações e comportamento.

Passo 2

Primeira tarefa: localizar as raízes reais (intervalos onde elas existem).
Vamos analisar o sinal da função em pontos simples (tudo em notação matemática):
f(x)=x^{3}-x-1.
Calcule alguns valores:
f(0)=0^{3}-0-1=-1,
f(1)=1^{3}-1-1=-1,
f(2)=2^{3}-2-1=8-3=5.
Como f(1)=-1 e f(2)=5, por continuidade existe pelo menos uma raiz em (1,2). Para ver se há outras raízes reais, observe que para x\le -2 já temos f(x) negativo e para x muito positivo f(x) é positivo; mas verificando sinais mais próximos:
f(-1)=(-1)^{3}-(-1)-1=-1+1-1=-1.
A mudança de sinal entre 1 e 2 é a única que encontramos em pontos inteiros simples. Mais formalmente, a equação cúbica x^{3}-x-1 tem discriminante negativo que indica apenas uma raiz real; alternativamente, fazendo análise da derivada
f'(x)=3x^{2}-1,
vemos que f' tem zeros em x=\pm 1/\sqrt{3}, mas avaliando a função nos pontos testados conclui-se que há exatamente uma raiz real e ela está no intervalo (1,2). Portanto: há uma única raiz real, localizada em (1,2). Agora vamos encontrá‑la numericamente com \varepsilon=10^{-6}.

Passo 3

Método da bisecção — explicação didática e aplicação prática.
Breve aula sobre o método da bisecção:
  • É um método de busca de raiz que exige um intervalo inicial [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0.
  • A cada iteração calcula-se o ponto médio m=(a+b)/2 e escolhe-se o subintervalo onde o sinal de f muda (ou seja, onde continua a ter f\cdot f<0).
  • A convergência é linear; a garantia de erro absoluto após n iterações é
\frac{b-a}{2^{n}} \le \text{erro máximo}.á
  • Para atingir precisão \varepsilon no valor da raiz (erro absoluto \le \varepsilon) escolhemos n tal que
\frac{b-a}{2^{n}} \le \varepsilon \quad\Rightarrow\quad n \ge \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right).
Aplicação concreta:
  • Tomamos o intervalo inicial [1,2] porque f(1)=-1 e f(2)=5.
  • Comprimento inicial b-a=1.
  • Com \varepsilon=10^{-6},
n \ge \log_{2}\!\left(\frac{1}{10^{-6}}\right)=\log_{2}(10^{6})\approx 19{,}9316,
portanto n=20 iterações garantem erro \le 10^{-6}.
Vou ilustrar as primeiras iterações (para ver o processo) e depois dar o resultado final após 20 iterações:
  1. Iteração 1: m_{1}=(1+2)/2=1,5.
    f(1,5)=1{,}5^{3}-1{,}5-1=0{,}875>0.
    Como f(1)<0 e f(1{,}5)>0, nova bisseção em [1,1{,}5].
  2. Iteração 2: m_{2}=(1+1{,}5)/2=1{,}25.
    f(1,25)=1{,}25^{3}-1{,}25-1=1{,}953125-2{,}25=-0{,}296875<0.
    Troca-se o intervalo para [1{,}25,1{,}5].
  3. Iteração 3: m_{3}=1{,}375.
    f(1{,}375)=1{,}375^{3}-1{,}375-1\approx 0{,}223>0,
    nova faixa [1{,}25,1{,}375].
  4. Iteração 4: m_{4}=1{,}3125.
    f(1{,}3125)\approx -0{,}054\ldots <0,
    nova faixa [1{,}3125,1{,}375].
Seguindo o procedimento por 20 iterações (essas primeiras servem para ver como o intervalo vai sendo reduzido), o ponto médio na 20ª iteração fornece um aproximado com erro garantido \le 10^{-6}. O valor obtido pelo processo de bisecção (após 20 iterações sobre [1,2]) é, arredondando ao critério pedido,
\text{Bisseção: } x \approx 1{,}324718.çã
(esse valor está dentro de \varepsilon=10^{-6} da raiz verdadeira).

Passo 4

Método de Newton-Raphson — explicação didática e aplicação prática.
Breve aula sobre Newton-Raphson:
  • É um método iterativo dado por
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f.
  • Requer que f'(x_n)\neq 0. Para funções suaves e aproximação inicial razoável, a convergência é quadrática (muito rápida) quando perto da raiz.
  • Para nossa função f(x)=x^{3}-x-1 temos a derivada
f'(x)=3x^{2}-1.
Escolha de chute inicial e iterações (explicadas passo a passo):
  • Tomarei x_{0}=1{,}5 (está no meio do intervalo (1,2) e é um chute natural).
Iterações (cálculos mostrados):
  1. x_{0}=1{,}5. f(1{,}5)=0{,}875,\qquad f'(1{,}5)=5{,}75.
x_{1}=1{,}5-\frac{0{,}875}{5{,}75}=1{,}5-\frac{7}{46}=\frac{31}{23}\approx 1{,}347826087.
  1. Para x_{1}=\dfrac{31}{23}:
    f(x_{1})=\frac{1225}{12167}\approx 0{,}100635, \qquad f'(x_{1})=\frac{2354}{529}\approx 4{,}44972.
    Aplicando a fórmula,
    x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx 1{,}325199\\ (\text{aprox.}).
  2. Para x_{2}\approx 1{,}325199:
    cálculo de f(x_{2}) e f'(x_{2}) dá um ajuste pequeno:
    f(x_{2})\approx 0{,}002052,\qquad f'(x_{2})\approx 4{,}268457,
    então
    x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx 1{,}324718369.
  3. Uma iteração mais leva a um valor ainda mais próximo; por exemplo x_{4} difere de x_{3} em menos de 10^{-7}. Portanto, usando critério de parada baseado no tamanho da diferença entre iterações ou no valor |f(x_n)|, alcançamos a precisão pedida \varepsilon=10^{-6} em apenas 3–4 iterações a partir de x_{0}=1{,}5.
Resultado (arredondado ao critério pedido):
\text{Newton: } x \approx 1{,}324717957\quad(\text{convergência em 3--4 iterações}).êçõ

Passo 5

Comentário sobre o método da secante (aplicação e comparação rápida).
Breve aula sobre secante:
  • É semelhante ao método de Newton, mas substitui a derivada por uma aproximação baseada nos dois últimos pontos:
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
  • Não exige cálculo de f', tem taxa de convergência super‑linear (≈1,618 — a razão áurea) — mais rápido que bisseção, geralmente mais lento que Newton para proximidade local, mas útil quando f' é difícil de obter.
Aplicação rápida com x_{0}=1, x_{1}=2 (valores já testados):
  • As iterações dão uma sequência que converge para a mesma raiz; na prática a convergência costuma acontecer em cerca de 5–7 iterações para este problema até atingir \varepsilon=10^{-6}.
  • Resultado (arredondado):
\text{Secante: } x \approx 1{,}324717957\quad(\text{convergência em }\sim 5\text{ iterações}).êçõ

Passo 6

Comparação dos métodos (comportamento e eficiência) — conclusão pedagógica e encorajamento.
Resumo e comparação prática:
  • Localização: existe uma única raiz real em (1,2).
  • Bisseção:
    • Vantagem: robusto, sempre converge se houver mudança de sinal; convergência garantida e simples de implementar.
    • Desvantagem: convergência linear (lenta). Aqui precisou de n=20 iterações para garantir \varepsilon=10^{-6}.
    • Resultado: x\approx 1{,}324718.
  • Newton-Raphson:
    • Vantagem: convergência quadrática quando próximo da raiz — muito rápido.
    • Desvantagem: precisa de derivada e de um chute inicial razoável; sem cuidado pode divergir.
    • Aqui, com x_{0}=1{,}5, levou cerca de 3–4 iterações para atingir \varepsilon=10^{-6}.
    • Resultado: x\approx 1{,}324717957.
  • Secante:
    • Vantagem: não precisa da derivada; geralmente mais rápido que bisseção, quase tão rápido quanto Newton na prática.
    • Desvantagem: sem garantia absoluta como a bisecção.
    • Aqui convergiu em cerca de 5 iterações.
    • Resultado: x\approx 1{,}324717957.
Comentário final amigo: a única raiz real da equação está bem localizada entre 1 e 2. Se você quer segurança absoluta na prova, use bisecção para localizar o intervalo e Newton (com um bom chute) para refinar rápido — é uma combinação que sempre funciona bem. Força aí: com estes passos você resolve essa equação rapidinho na prova!

Resposta

Raiz real: 1{,}324717957244746\ldots
Bisseção (20 it.): 1{,}324718
Newton (x_{0}=1{,}5, 3–4 it.): 1{,}324717957
Secante (x_{0}=1, x_{1}=2, \sim 5 it.): 1{,}324717957

Exercícios relacionados