Exercício 2. Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão
. Compare os resultados.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- Enunciado: encontrar as raízes reais da equação
e, usando métodos numéricos estudados, determiná‑las com precisão
. Depois comparar os resultados dos métodos.
- Dados relevantes:
- A função a estudar é
. - A precisão exigida é
. - Precisa-se localizar (encontrar intervalos onde estejam) as raízes reais e aplicar métodos numéricos (vou usar: método da bisseção e método de Newton — além da versão modificada de Newton para tratar raízes múltiplas).
- A função a estudar é
Passo 2
Localização algébrica das raízes (fato útil antes de aplicar métodos numéricos).
Vamos ver se a equação admite fatoração algébrica: testar
:
logo
é raiz. Fazendo divisão de
por
(divisão sintética ou polinomial) obtemos o quociente
Agrupando o quociente:
Portanto
Como
, concluímos a fatoração final
Passo 3
Conclusão da localização exata (útil para comparar com os métodos numéricos).
- As raízes reais são
(multiplicidade ) e (multiplicidade ). - Ou seja, algebraicamente já sabemos os valores exatos; o objetivo numérico a seguir é mostrar como obter essas raízes com precisão
pelos métodos estudados e comparar convergência/eficiência.
Passo 4
Explicação e aplicação do método da bisseção (método robusto e simples).
- Ideia do método: dado intervalo
com (mudança de sinal), o método calcula o ponto médio e substitui o intervalo por ou preservando a mudança de sinal. A cada iteração o comprimento do intervalo divide‑se por . O critério garantido de parada pode ser ou até . - Fórmula para número mínimo de iterações para alcançar precisão
:
Aplicação para
:
- Escolho o intervalo
. Verifiquei que (calc.: ) e , logo há mudança de sinal e existe uma raiz em . - Largura inicial
. Então
- Conclusão: com
iterações a bisseção garante aproximação com erro . O valor aproximado obtido será (a bisseção chega ao intervalo centrado em e o ponto médio final dá essa aproximação dentro da precisão exigida).
Aplicação para
:
- Escolho o intervalo
. Verifiquei e , mudança de sinal presente. - Largura inicial
. Então
- Conclusão: com
iterações a bisseção garante e produz .
Observação (didática): bisseção é robusta (não exige derivada) e o número de iterações é previsível, mas converge linearmente (lentamente) — aqui precisa de ~20 iterações para chegar a
.
Passo 5
Explicação do método de Newton (Newton–Raphson) e comportamento para raízes múltiplas.
- Fórmula do método de Newton: dado
,
- Quando a raiz é simples (multiplicidade 1) e
, a convergência é quadrática (muito rápida). Critério prático de parada: ou . - Problema com raízes múltiplas: se a raiz tem multiplicidade
, o método padrão perde a ordem quadrática e passa a convergir apenas linearmente (muito mais lento). Há uma versão modificada que corrige isso: se é conhecida, usar
que recupera convergência rápida.
Para nossa função, é útil trabalhar com a fatoração
, então temos a derivada exata
Passo 6
Aplicação de Newton para a raiz simples
(mostrando iterações e convergência rápida).
- Escolho
. Calculei (valores numéricos mostrados com precisão suficiente): -
. - Newton:
- Avaliando em sequência (mostrando iterações relevantes):
-
-
-
-
(dentro de )
-
-
- Resultado: o método de Newton convergiu rapidamente para
. Em prática foram necessárias cerca de iterações a partir de para atingir .
Comentário didático: aqui a raiz é simples (
),
, por isso Newton mostra convergência quadrática e é mais eficiente que a bisseção.
Passo 7
Aplicação de Newton modificado para a raiz múltipla
(mostrando vantagem da correção por multiplicidade).
- Como sabemos que
tem multiplicidade , uso a versão modificada
- É interessante observar uma relação prática para o erro: se escrever
(com pequeno), para a nossa função e com essa modificação obtém‑se a relação de erros
o que mostra convergência muito rápida dos erros (o erro é praticamente quadrático em
já na iteração modificada).
- Tomando
(portanto ): -
- Conclusão: em
iterações do Newton modificado, partindo de , alcança‑se . Isto demonstra que, para raízes múltiplas, usar a correção por multiplicidade é muito vantajoso (muito mais rápido que aplicar Newton padrão).
Observação sobre Newton padrão para
: como
(devido à multiplicidade), o Newton padrão tem problemas (divisões por números pequenos e convergência apenas linear se converge): portanto é desaconselhável usar Newton padrão sem ajustar quando se sabe que existe multiplicidade.
Passo 8
Resumo comparativo (prático) entre métodos usados.
-
Bisseção:
- Robustez: muito alta (não precisa de derivada).
- Iterações necessárias (estimadas):
para (intervalo ) e para (intervalo ) para atingir . - Resultado final:
e .
-
Newton padrão:
- Para
(raiz simples) é muito eficiente: convergiu em cerca de iterações a partir de . - Para
(raiz de multiplicidade ) o Newton padrão é ineficiente e instável (derivada nula na raiz). Não é recomendado sem modificação.
- Para
-
Newton modificado (conhecendo
para ): - Muito eficiente: com
iterações a partir de já se obtém . - Mostra claramente que, ao conhecer a multiplicidade, adaptar o método melhora muito a convergência.
- Muito eficiente: com
Resposta
Raízes reais:
(multiplicidade
) e
(multiplicidade
).
Aproximações com :
Bisseção: (≈21 it.),
(≈20 it.).
Newton (padrão): (≈5 it. a partir de
); Newton padrão não é adequado para
(derivada nula).
Newton modificado ( ) para
:
(≈3 it. a partir de
).
Aproximações com
Bisseção:
Newton (padrão):
Newton modificado (