Exercício 2. Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão \varepsilon=10^{-6}. Compare os resultados.
x^{4}-2 x^{3}+2 x-1=0

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Enunciado: encontrar as raízes reais da equação
x^{4}-2x^{3}+2x-1=0
e, usando métodos numéricos estudados, determiná‑las com precisão \varepsilon=10^{-6}. Depois comparar os resultados dos métodos.
  • Dados relevantes:
    • A função a estudar é f(x)=x^{4}-2x^{3}+2x-1.
    • A precisão exigida é \varepsilon=10^{-6}.
    • Precisa-se localizar (encontrar intervalos onde estejam) as raízes reais e aplicar métodos numéricos (vou usar: método da bisseção e método de Newton — além da versão modificada de Newton para tratar raízes múltiplas).

Passo 2

Localização algébrica das raízes (fato útil antes de aplicar métodos numéricos).
Vamos ver se a equação admite fatoração algébrica: testar x=1:
f(1)=1-2+2-1=0,
logo x=1 é raiz. Fazendo divisão de f(x) por x-1 (divisão sintética ou polinomial) obtemos o quociente
x^{3}-x^{2}-x+1.
Agrupando o quociente:
x^{3}-x^{2}-x+1 = x^{2}(x-1)-1(x-1)=(x-1)(x^{2}-1).
Portanto
f(x)=(x-1)\bigl(x^{3}-x^{2}-x+1\bigr)=(x-1)(x-1)(x^{2}-1)=(x-1)^{2}(x^{2}-1).
Como x^{2}-1=(x-1)(x+1), concluímos a fatoração final
f(x)=(x-1)^{3}(x+1).

Passo 3

Conclusão da localização exata (útil para comparar com os métodos numéricos).
  • As raízes reais são x=1 (multiplicidade 3) e x=-1 (multiplicidade 1).
  • Ou seja, algebraicamente já sabemos os valores exatos; o objetivo numérico a seguir é mostrar como obter essas raízes com precisão \varepsilon=10^{-6} pelos métodos estudados e comparar convergência/eficiência.

Passo 4

Explicação e aplicação do método da bisseção (método robusto e simples).
  • Ideia do método: dado intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0 (mudança de sinal), o método calcula o ponto médio m=(a+b)/2 e substitui o intervalo por [a,m] ou [m,b] preservando a mudança de sinal. A cada iteração o comprimento do intervalo divide‑se por 2. O critério garantido de parada pode ser |b-a|/2^{n}\le\varepsilon ou até |b-a|<2\varepsilon.
  • Fórmula para número mínimo de iterações para alcançar precisão \varepsilon:
N \ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil.
Aplicação para x=-1:
  • Escolho o intervalo [a,b]=[-2,0]. Verifiquei que f(-2)>0 (calc.: f(-2)=27) e f(0)=-1<0, logo há mudança de sinal e existe uma raiz em [-2,0].
  • Largura inicial b-a=2. Então
N \ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{2}{10^{-6}}\right)\right\rceil = \left\lceil \log_{2}(2\times10^{6})\right\rceil \approx \lceil 20{,}93\rceil =21.
  • Conclusão: com 21 iterações a bisseção garante aproximação com erro \le 10^{-6}. O valor aproximado obtido será x\approx -1.000000 (a bisseção chega ao intervalo centrado em -1 e o ponto médio final dá essa aproximação dentro da precisão exigida).
Aplicação para x=1:
  • Escolho o intervalo [a,b]=[0{,}5,\,1{,}5]. Verifiquei f(0{,}5)=-0{,}1875 e f(1{,}5)=0{,}3125, mudança de sinal presente.
  • Largura inicial b-a=1. Então
N \ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{1}{10^{-6}}\right)\right\rceil = \left\lceil \log_{2}(10^{6})\right\rceil \approx \lceil 19{,}93\rceil =20.
  • Conclusão: com 20 iterações a bisseção garante |\text{erro}|\le 10^{-6} e produz x\approx 1.000000.
Observação (didática): bisseção é robusta (não exige derivada) e o número de iterações é previsível, mas converge linearmente (lentamente) — aqui precisa de ~20 iterações para chegar a 10^{-6}.

Passo 5

Explicação do método de Newton (Newton–Raphson) e comportamento para raízes múltiplas.
  • Fórmula do método de Newton: dado x_{n},
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
  • Quando a raiz é simples (multiplicidade 1) e f'(r)\neq0, a convergência é quadrática (muito rápida). Critério prático de parada: |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon ou |f(x_{n+1})|<\varepsilon.
  • Problema com raízes múltiplas: se a raiz tem multiplicidade m>1, o método padrão perde a ordem quadrática e passa a convergir apenas linearmente (muito mais lento). Há uma versão modificada que corrige isso: se m é conhecida, usar
x_{n+1}=x_{n}-m\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
que recupera convergência rápida.
Para nossa função, é útil trabalhar com a fatoração f(x)=(x-1)^{3}(x+1), então temos a derivada exata
f'(x)=3(x-1)^{2}(x+1)+(x-1)^{3}= (x-1)^{2}(4x+2)=2(x-1)^{2}(2x+1).

Passo 6

Aplicação de Newton para a raiz simples x=-1 (mostrando iterações e convergência rápida).
  • Escolho x_{0}=-1{,}5. Calculei (valores numéricos mostrados com precisão suficiente):
    • f(-1{,}5)=7{,}8125,\quad f'(-1{,}5)=-25.
    • Newton: x_{1}=-1{,}5 - \dfrac{7{,}8125}{-25} = -1{,}1875.
    • Avaliando em sequência (mostrando iterações relevantes):
      • x_{2}\approx -1{,}038233
      • x_{3}\approx -1{,}001651
      • x_{4}\approx -1{,}000005
      • x_{5}\approx -1{,}000000 (dentro de \varepsilon=10^{-6})
  • Resultado: o método de Newton convergiu rapidamente para x=-1. Em prática foram necessárias cerca de 5 iterações a partir de x_{0}=-1{,}5 para atingir \varepsilon=10^{-6}.
Comentário didático: aqui a raiz é simples ( m=1), f'(-1)\neq 0, por isso Newton mostra convergência quadrática e é mais eficiente que a bisseção.

Passo 7

Aplicação de Newton modificado para a raiz múltipla x=1 (mostrando vantagem da correção por multiplicidade).
  • Como sabemos que x=1 tem multiplicidade m=3, uso a versão modificada
x_{n+1}=x_{n}-3\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
  • É interessante observar uma relação prática para o erro: se escrever x=1+e (com e pequeno), para a nossa função e com essa modificação obtém‑se a relação de erros
e_{n+1} \;=\; \frac{e_{n}^{2}}{2(3+2e_{n})},
o que mostra convergência muito rápida dos erros (o erro é praticamente quadrático em e já na iteração modificada).
  • Tomando x_{0}=1{,}5 (portanto e_{0}=0{,}5):
    • e_{1}=\dfrac{(0{,}5)^{2}}{2(3+2\cdot 0{,}5)}=\dfrac{0{,}25}{8}=0{,}03125\Rightarrow x_{1}=1{,}03125.
    • e_{2}\approx \dfrac{(0{,}03125)^{2}}{2(3+2\cdot0{,}03125)}\approx 1{,}594\times10^{-4}\Rightarrow x_{2}\approx 1{,}0001594.
    • e_{3}\approx \dfrac{(1{,}594\times10^{-4})^{2}}{2(3+\cdots)}\approx 4{,}23\times10^{-9}\Rightarrow x_{3}\approx 1{,}000000004.
  • Conclusão: em 3 iterações do Newton modificado, partindo de x_{0}=1{,}5, alcança‑se |x_{n}-1|<10^{-6}. Isto demonstra que, para raízes múltiplas, usar a correção por multiplicidade é muito vantajoso (muito mais rápido que aplicar Newton padrão).
Observação sobre Newton padrão para x=1: como f'(1)=0 (devido à multiplicidade), o Newton padrão tem problemas (divisões por números pequenos e convergência apenas linear se converge): portanto é desaconselhável usar Newton padrão sem ajustar quando se sabe que existe multiplicidade.

Passo 8

Resumo comparativo (prático) entre métodos usados.
  • Bisseção:
    • Robustez: muito alta (não precisa de derivada).
    • Iterações necessárias (estimadas): \approx 21 para x=-1 (intervalo [-2,0]) e \approx 20 para x=1 (intervalo [0{,}5,1{,}5]) para atingir \varepsilon=10^{-6}.
    • Resultado final: x\approx -1.000000 e x\approx 1.000000.
  • Newton padrão:
    • Para x=-1 (raiz simples) é muito eficiente: convergiu em cerca de 5 iterações a partir de x_{0}=-1{,}5.
    • Para x=1 (raiz de multiplicidade 3) o Newton padrão é ineficiente e instável (derivada nula na raiz). Não é recomendado sem modificação.
  • Newton modificado (conhecendo m=3 para x=1):
    • Muito eficiente: com 3 iterações a partir de x_{0}=1{,}5 já se obtém |x-1|<10^{-6}.
    • Mostra claramente que, ao conhecer a multiplicidade, adaptar o método melhora muito a convergência.

Resposta

Raízes reais: x=-1 (multiplicidade 1) e x=1 (multiplicidade 3).
Aproximações com \varepsilon=10^{-6}:
Bisseção: x=-1{,}000000 (≈21 it.), x=1{,}000000 (≈20 it.).
Newton (padrão): x=-1{,}000000 (≈5 it. a partir de x_{0}=-1{,}5); Newton padrão não é adequado para x=1 (derivada nula).
Newton modificado ( m=3) para x=1: x=1{,}000000 (≈3 it. a partir de x_{0}=1{,}5).

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