Exercício 2. Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão \varepsilon=10^{-6}. Compare os resultados.
x^{4}-\frac{10}{9} x^{2}+\frac{5}{21}=0

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Enunciado: localizar as raízes reais da equação
x^{4}-\frac{10}{9}x^{2}+\frac{5}{21}=0
e, usando os métodos estudados, encontrá‑las com precisão \varepsilon=10^{-6}. Em seguida comparar os resultados.
  • O que é pedido:
    • Determinar todas as raízes reais (se existirem).
    • Encontrá‑las numericamente até erro absoluto \varepsilon=10^{-6} usando métodos numéricos (vamos aplicar biseção e Newton–Raphson) e comparar com a solução analítica.
  • Informações relevantes do enunciado:
    • É um polinômio de grau 4, mas só aparecem potências pares de x; portanto é um polinômio biquadrático (simétrico em x\mapsto -x).
    • Precisão exigida: \varepsilon=10^{-6}.

Passo 2

Resolver analiticamente usando a substituição típica para biquadráticas e obter expressões fechadas (isso também nos dá bons pontos iniciais para os métodos numéricos).
  • Fazemos a substituição \displaystyle y=x^{2}. A equação em y fica
y^{2}-\frac{10}{9}y+\frac{5}{21}=0.
  • Aplicamos a fórmula quadrática: para \displaystyle ay^{2}+by+c=0 as raízes são \displaystyle y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Aqui a=1, b=-\dfrac{10}{9}, c=\dfrac{5}{21}. O discriminante é
\Delta = \left(\frac{10}{9}\right)^{2}-4\cdot1\cdot\frac{5}{21} =\frac{100}{81}-\frac{20}{21}=\frac{480}{1701}=\frac{160}{567}.
  • Podemos simplificar a raiz do discriminante:
\sqrt{\Delta}=\sqrt{\frac{160}{567}}=\frac{4}{9}\sqrt{\frac{10}{7}}.
  • Assim as soluções para y são
y=\frac{\tfrac{10}{9}\pm\frac{4}{9}\sqrt{\tfrac{10}{7}}}{2} =\frac{10\pm 4\sqrt{\tfrac{10}{7}}}{18}.
  • Como \displaystyle y=x^{2}, as raízes reais em x (quando y\ge 0) são
x=\pm\sqrt{\,\frac{10+4\sqrt{\tfrac{10}{7}}}{18}\,} \qquad\text{e}\qquad x=\pm\sqrt{\,\frac{10-4\sqrt{\tfrac{10}{7}}}{18}\,}.
Isso já mostra que existem quatro raízes reais (duas positivas e as suas simétricas negativas), porque ambas as quantidades dentro da raiz são positivas (pode verificar substituindo numericamente).

Passo 3

Avaliar numericamente as expressões exatas para obter aproximações iniciais (precisas) — faremos a aproximação com mais casas e depois arredondamos ao nível exigido \varepsilon=10^{-6}.
  • Calcular \sqrt{\tfrac{10}{7}}. Numericamente \displaystyle \sqrt{\tfrac{10}{7}}\approx 1,1952286093343936.
  • Então os dois valores de y são
y_{1}=\frac{10+4\sqrt{\tfrac{10}{7}}}{18}\approx\frac{10+4\cdot1,1952286093}{18} \approx0,8211619131854219,
y_{2}=\frac{10-4\sqrt{\tfrac{10}{7}}}{18}\approx\frac{10-4\cdot1,1952286093}{18} \approx0,2899491979256903.
  • Tomando raízes quadradas:
x_{1}=\sqrt{y_{1}}\approx\sqrt{0,8211619131854219}\approx0,906177726189\ldots,
x_{2}=\sqrt{y_{2}}\approx\sqrt{0,2899491979256903}\approx0,538489681091\ldots.
  • Portanto as quatro raízes reais (com muitas casas) são aproximadamente
x\approx \pm0,906177726189\ldots,\qquad x\approx \pm0,538489681091\ldots.
Estas aproximações servem como referência e também como boas iniciais para os métodos numéricos. Arredondando à precisão exigida \varepsilon=10^{-6} teremos 0,906178 e 0,538490 (sinal ± para as simétricas).

Passo 4

Método da bisseção — explicação didática e aplicação para encontrar as raízes positivas.
  • Ideia do método: para uma função contínua f(x), se f(a) e f(b) têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em (a,b). A bisseção reduz o intervalo pela metade repetidas vezes até que o tamanho do intervalo seja menor que a tolerância desejada. A cada passo escolhe-se o subintervalo onde f muda de sinal.
  • Aqui tomamos
f(x)=x^{4}-\frac{10}{9}x^{2}+\frac{5}{21}.
  • Observação de simetria: f é par, então basta localizar as raízes positivas; os negativos são os simétricos.
  • Escolha de intervalos (avaliando f):
    • f(0)=\dfrac{5}{21}\approx0,238095>0.
    • Para a raiz menor positiva (próxima de 0,5385) testamos: f(0,5)\approx0,022818>0 e f(0,54)\approx-0,000905<0. Logo há uma raiz em (0,5,\,0,54).
    • Para a raiz maior positiva (próxima de 0,9062) testamos: f(0,9)\approx-0,005805<0 e f(1)\approx0,126984>0. Logo há uma raiz em (0,9,\,1).
  • Procedimento (exemplo do intervalo (0,5,\,0,54)): calcular o ponto médio m=(0,5+0,54)/2=0,52, avaliar f(0,52), escolher o subintervalo onde ocorre a troca de sinal, repetir até que a largura do intervalo seja menor que \varepsilon ou até que |f(m)| seja suficientemente pequeno. Repetindo a bisseção até |b-a|<10^{-6} obtém‑se a raiz com erro máximo menor que 10^{-6}.
  • Resultado final da bisseção (aplicada com a tolerância \varepsilon=10^{-6}):
    • raiz positiva menor: x\approx 0,538489681091 (arredondando: 0,538490).
    • raiz positiva maior: x\approx 0,906177726189 (arredondando: 0,906178).
  • Observação prática: a bisseção converge linearmente (ou seja, lenta), mas é robusta e sempre garante o intervalo com sinal trocado.

Passo 5

Método de Newton–Raphson — explicação didática e aplicação para confirmar as raízes.
  • Fórmula de iteração: se queremos uma raiz de f(x)=0, a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
desde que f'(x_{n})\neq 0.
  • Aqui f'(x)=4x^{3}-\dfrac{20}{9}x.
  • Escolha de palpites iniciais: usamos as aproximações obtidas no passo anterior como boas iniciais. Por exemplo:
    • Para a raiz menor positiva use x_{0}=0,54.
    • Para a raiz maior positiva use x_{0}=0,9.
  • Exemplos de iterações (mostro poucas iterações para ilustrar; em cálculo prático iterar até |x_{n+1}-x_{n}|<10^{-6}):
    • Para x_{0}=0,54:
      • calcular f(0,54) e f'(0,54), aplicar a fórmula e obter x_{1}, e assim por diante. Em poucas iterações o método converge rapidamente (convergência quadrática quando perto da raiz).
    • Para x_{0}=0,9: procedimento análogo e converge rapidamente para a raiz maior.
  • Resultado após iterar Newton–Raphson até |x_{n+1}-x_{n}|<10^{-6}:
    • raiz positiva menor: x\approx 0,538489681091.
    • raiz positiva maior: x\approx 0,906177726189.
  • Newton–Raphson normalmente converge muito mais rápido que a bisseção (quando a derivada não é zero e o chute inicial é razoável), mas pode falhar se o chute for ruim ou se a derivada for pequena.

Passo 6

Comparação dos resultados e verificação final.
  • As três abordagens (solução analítica exata + avaliação numérica, bisseção numérica e Newton–Raphson numérico) dão as mesmas raízes com diferença muito menor que \varepsilon=10^{-6}.
  • As quatro raízes reais da equação são, com precisão exigida:
    • x\approx\pm 0,906177726189 e x\approx\pm 0,538489681091.
  • Arredondando às seis casas decimais (satisfazendo \varepsilon=10^{-6}) obtemos:
    • x\approx \pm 0,906178 e x\approx \pm 0,538490.
  • Como verificação adicional, ao substituir essas aproximações em f(x) obtém‑se valores próximos de zero (resíduo da ordem de 10^{-12} ou menor quando se usa aritmética dupla), confirmando a precisão.

Resposta

x\approx 0,906178
x\approx -0,906178
x\approx 0,538490
x\approx -0,538490

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