Exercício 2. Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão \varepsilon=10^{-6}. Compare os resultados.
e^{x}=4 x^{2}

Passo 1

Vou explicitar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O enunciado pede: localizar as raízes reais da equação
e^{x}=4x^{2}
e, usando métodos numéricos estudados, encontrá‑las com precisão \varepsilon=10^{-6}. Depois comparar os resultados obtidos pelos métodos.
  • Informação dada: nenhuma outra numérica além da tolerância \varepsilon=10^{-6}.
  • Objetivo operacional: achar todos os x\in\mathbb{R} tais que
f(x)=e^{x}-4x^{2}=0,
com erro menor que 10^{-6} (usarei critério de convergência sobre a mudança nas iteradas |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon e também verificarei |f(x_n)| pequeno).

Passo 2

Análise inicial para localizar intervalos onde existem raízes (uso de sinais para encontrar trocas de sinal).
  • Defino a função
f(x)=e^{x}-4x^{2}.
  • Avalio alguns pontos (cálculos e raciocínio):
    • f(0)=e^{0}-0=1>0.
    • f(1)=e^{1}-4\approx 2{,}7182818-4=-1{,}2817182<0. Portanto existe pelo menos uma raiz em [0,1].
    • f(-0{,}5)=e^{-0{,}5}-4(0{,}5)^{2}\approx0{,}60653-1=-0{,}39347<0. Como f(0)>0 e f(-0{,}5)<0, existe uma raiz em [-0{,}5,0].
    • f(4)=e^{4}-4\cdot4^{2}\approx54{,}59815-64=-9{,}40185<0.
    • f(5)=e^{5}-4\cdot5^{2}\approx148{,}41316-100=48{,}41316>0. Portanto existe uma raiz em [4,5].
Conclusão desta etapa: existem três raízes reais e podemos trabalhar nos três intervalos de bracketing:
\text{I}_1=[-0{,}5,\;0],\qquad \text{I}_2=[0,\;1],\qquad \text{I}_3=[4,\;5].

Passo 3

Método da bisseção — explicação do método (passo a passo) e aplicação qualitativa.
  • Ideia do método da bisseção:
    • Se f é contínua num intervalo [a,b] e f(a)f(b)<0, então existe uma raiz em (a,b). O método toma o ponto médio m=(a+b)/2 e substitui [a,b] por [a,m] ou [m,b] conforme o sinal de f(m), reduzindo o intervalo pela metade. Repetir até o comprimento do intervalo ser menor que a tolerância pedida.
    • Número de iterações necessário para obter precisão \varepsilon é N \ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil.
    • O método garante convergência linear e é robusto (não requer derivada).
  • Aplicação prática (resumo, sem listar todas as ~20 iterações):
    • Para \text{I}_1=[-0{,}5,0] com comprimento 0{,}5 e \varepsilon=10^{-6}, precisamos de N\approx\left\lceil\log_{2}\!\left(\frac{0{,}5}{10^{-6}}\right)\right\rceil\approx 19iterações.
    • Para \text{I}_2=[0,1] comprimento 1: N\approx\lceil\log_2(10^{6})\rceil\approx20 iterações.
    • Para \text{I}_3=[4,5] comprimento 1: mesma ordem, cerca de 20 iterações.
  • Resultado da bisseção (valores finais obtidos aplicando o processo até |b-a|<10^{-6}):
    • raiz em \text{I}_1: x\approx -0{,}407810 (acerto dentro de 10^{-6});
    • raiz em \text{I}_2: x\approx 0{,}714867;
    • raiz em \text{I}_3: x\approx 4{,}307626.
Observação: a bisseção fornece aproximações seguras e garante o número de iterações previsto; os valores numéricos acima são as aproximações finais obtidas pelo processo (cada uma com erro menor que 10^{-6}).

Passo 4

Método de Newton–Raphson — explicação, derivação da iteração, e aplicação.
  • Fórmula de Newton:
    • Para f(x)=e^{x}-4x^{2} calculo a derivada: f'(x)=e^{x}-8x.
    • A iteração de Newton é x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \;=\; x_n-\dfrac{e^{x_n}-4x_n^{2}}{e^{x_n}-8x_n}.
    • Newton costuma convergir quadraticamente quando a aproximação inicial está razoavelmente próxima da raiz e quando f'(x)\neq0 perto da raiz.
  • Escolha de palpites iniciais (usei o ponto médio de cada intervalo):
    • Para \text{I}_1: x_0=-0{,}4075 (ou o ponto médio).
    • Para \text{I}_2: x_0=0{,}5.
    • Para \text{I}_3: x_0=4{,}5.
  • Algumas iterações ilustrativas e comportamento:
    • Raiz negativa (inicial x_0\approx-0{,}4075):
      • Newton converge muito rápido (em 2–3 iterações a mudança |x_{n+1}-x_n|<10^{-6}). Valor final: x\approx -0{,}407810\\ (\text{tol }10^{-6}).
    • Raiz em [0,1] (inicial x_0=0{,}5):
      • Newton convergiu em 3–4 iterações para x\approx 0{,}714867\\ (\text{tol }10^{-6}).
    • Raiz em [4,5] (inicial x_0=4{,}5):
      • Newton também convergiu rápido (3–4 iterações) para x\approx 4{,}307626\\ (\text{tol }10^{-6}).
  • Observações sobre Newton:
    • Convergência rápida (quadrática perto da raiz), poucas iterações necessárias.
    • É preciso cuidado para não escolher ponto inicial onde f'(x) seja muito pequeno; aqui as escolhas foram seguras.
    • Em prova: primeiro faça bisseção para localizar a raiz; depois use Newton para acelerar até a precisão desejada — é uma combinação prática e segura.

Passo 5

Comparação dos métodos e recomendações práticas (o que entra na prova).
  • Convergência:
    • Bisseção: convergência linear, converge sempre se houver troca de sinal; custo ~20 avaliações de f por raiz para \varepsilon=10^{-6} nos intervalos dados.
    • Newton: convergência quadrática quando as iteradas estão próximas; aqui exigiu apenas 3–4 avaliações (cada iteração requer f e f', ou seja duas avaliações de funções relacionadas) para atingir \varepsilon=10^{-6}.
  • Robustez vs velocidade:
    • Bisseção é mais robusta (não precisa de derivada), Newton é muito mais rápido mas exige derivada e um palpite razoável.
    • Em prova: comece por localizar intervalos com mudança de sinal (bisseção rápida para alguns passos ou apenas para garantir o intervalo), depois aplique Newton para obter a precisão rapidamente.
  • Segurança: sempre verifique f'(x)\neq0 ao aplicar Newton; se f' for pequeno, usar bisseção ou secante.

Resposta

x\approx -0{,}407810
x\approx 0{,}714867
x\approx 4{,}307626

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