Exercício 2. Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão
. Compare os resultados.
Passo 1
Vou explicitar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.
- O enunciado pede: localizar as raízes reais da equação
e, usando métodos numéricos estudados, encontrá‑las com precisão
. Depois comparar os resultados obtidos pelos métodos.
-
Informação dada: nenhuma outra numérica além da tolerância
. -
Objetivo operacional: achar todos os
tais que
com erro menor que
(usarei critério de convergência sobre a mudança nas iteradas
e também verificarei
pequeno).
Passo 2
Análise inicial para localizar intervalos onde existem raízes (uso de sinais para encontrar trocas de sinal).
- Defino a função
- Avalio alguns pontos (cálculos e raciocínio):
-
. -
. Portanto existe pelo menos uma raiz em . -
. Como e , existe uma raiz em . -
. -
. Portanto existe uma raiz em .
-
Conclusão desta etapa: existem três raízes reais e podemos trabalhar nos três intervalos de bracketing:
Passo 3
Método da bisseção — explicação do método (passo a passo) e aplicação qualitativa.
-
Ideia do método da bisseção:
- Se
é contínua num intervalo e , então existe uma raiz em . O método toma o ponto médio e substitui por ou conforme o sinal de , reduzindo o intervalo pela metade. Repetir até o comprimento do intervalo ser menor que a tolerância pedida. - Número de iterações necessário para obter precisão
é - O método garante convergência linear e é robusto (não requer derivada).
- Se
-
Aplicação prática (resumo, sem listar todas as ~20 iterações):
- Para
com comprimento e , precisamos de iterações. - Para
comprimento : iterações. - Para
comprimento : mesma ordem, cerca de iterações.
- Para
-
Resultado da bisseção (valores finais obtidos aplicando o processo até
): - raiz em
: (acerto dentro de ); - raiz em
: ; - raiz em
: .
- raiz em
Observação: a bisseção fornece aproximações seguras e garante o número de iterações previsto; os valores numéricos acima são as aproximações finais obtidas pelo processo (cada uma com erro menor que
).
Passo 4
Método de Newton–Raphson — explicação, derivação da iteração, e aplicação.
-
Fórmula de Newton:
- Para
calculo a derivada: - A iteração de Newton é
- Newton costuma convergir quadraticamente quando a aproximação inicial está razoavelmente próxima da raiz e quando
perto da raiz.
- Para
-
Escolha de palpites iniciais (usei o ponto médio de cada intervalo):
- Para
: (ou o ponto médio). - Para
: . - Para
: .
- Para
-
Algumas iterações ilustrativas e comportamento:
- Raiz negativa (inicial
): - Newton converge muito rápido (em 2–3 iterações a mudança
). Valor final:
- Newton converge muito rápido (em 2–3 iterações a mudança
- Raiz em
(inicial ): - Newton convergiu em 3–4 iterações para
- Newton convergiu em 3–4 iterações para
- Raiz em
(inicial ): - Newton também convergiu rápido (3–4 iterações) para
- Newton também convergiu rápido (3–4 iterações) para
- Raiz negativa (inicial
-
Observações sobre Newton:
- Convergência rápida (quadrática perto da raiz), poucas iterações necessárias.
- É preciso cuidado para não escolher ponto inicial onde
seja muito pequeno; aqui as escolhas foram seguras. - Em prova: primeiro faça bisseção para localizar a raiz; depois use Newton para acelerar até a precisão desejada — é uma combinação prática e segura.
Passo 5
Comparação dos métodos e recomendações práticas (o que entra na prova).
-
Convergência:
- Bisseção: convergência linear, converge sempre se houver troca de sinal; custo ~20 avaliações de
por raiz para nos intervalos dados. - Newton: convergência quadrática quando as iteradas estão próximas; aqui exigiu apenas 3–4 avaliações (cada iteração requer
e , ou seja duas avaliações de funções relacionadas) para atingir .
- Bisseção: convergência linear, converge sempre se houver troca de sinal; custo ~20 avaliações de
-
Robustez vs velocidade:
- Bisseção é mais robusta (não precisa de derivada), Newton é muito mais rápido mas exige derivada e um palpite razoável.
- Em prova: comece por localizar intervalos com mudança de sinal (bisseção rápida para alguns passos ou apenas para garantir o intervalo), depois aplique Newton para obter a precisão rapidamente.
-
Segurança: sempre verifique
ao aplicar Newton; se for pequeno, usar bisseção ou secante.