Uma sequência de termos é definida por
a1=1 an=(5-n) an-1
Calcule sumn=1^infty an.

Passo 1

O enunciado define uma sequência por
a1=1, an=(5-n),an-1
e pede a soma infinita sumn=1^inftyan. Esse é um caso em que o fator (5-n) fica nulo para algum n, fazendo a sequência “morrer” em zero depois desse ponto. Vamos explorar isso.

Passo 2

Calculemos explicitamente os primeiros termos até o fator anular:
a1=1
Para n=2:
a2=(5-2),a1=3cdot1=3
Para n=3:
a3=(5-3),a2=2cdot3=6
Para n=4:
a4=(5-4),a3=1cdot6=6
Para n=5:
a5=(5-5),a4=0cdot6=0
A partir de n=5, como a5=0, todos os termos subsequentes são zero:
a6=(5-6),a5=-1cdot0=0,; a7=0,;dots

Passo 3

Como an=0 para todo n>=5, a soma infinita reduz-se aos quatro primeiros termos:
sumn=1^inftyan =sumn=1^4an =1+3+6+6

Passo 4

Somando os valores:
1+3+6+6=16

Resposta

sumn=1^inftyan=16

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