Informações dadas e observações iniciais que importam:
A equação relaciona y' com x e y por \displaystyle y'=-\frac{\cos y}{x\operatorname{sen} y}.
O valor inicial é dado em x=e: \displaystyle y(e)=2\pi.
Note que a expressão do lado direito tem denominadores x e \operatorname{sen} y; portanto a equação não é válida onde x=0 ou \operatorname{sen} y=0. Em particular \operatorname{sen}(2\pi)=0, então o ponto inicial está num valor de y que anula \operatorname{sen} y. Vou continuar a resolução normalmente, mas vou explicar o que isso implica para domínio/regularidade da solução ao final.]
Passo 2
Reescrevendo a equação de forma mais manejável: lembrando que \cot y=\dfrac{\cos y}{\operatorname{sen} y}, temos
y' = -\frac{1}{x}\cot y.
Aqui y'=\dfrac{dy}{dx}. A estratégia natural é separar variáveis (quando possível): colocar todas as coisas com y multiplicando dy de um lado e todas as coisas com x multiplicando dx do outro. Separar variáveis funciona quando podemos escrever a EDO como produto de função de x e função de y.
Passo 3
Separe as variáveis: multiplicando ambos os lados por \tan y (que é 1/\cot y) e por dx,
\tan y\, dy = -\frac{dx}{x}.
Comentário didático rápido sobre as funções envolvidas:
\tan y=\dfrac{\operatorname{sen} y}{\cos y} e \cot y=\dfrac{\cos y}{\operatorname{sen} y}.
A separação trouxe \tan y\,dy no lado esquerdo e -\dfrac{dx}{x} no direito, ambos prontos para integrar.
Passo 4
Integre os dois lados:
Para o lado esquerdo, usamos a primitiva de \tan y. Uma maneira fácil é fazer a substituição u=\cos y, então du=-\operatorname{sen} y\,dy. Como \tan y=\dfrac{\operatorname{sen} y}{\cos y}, temos
\int \tan y\,dy = \int \frac{\operatorname{sen} y}{\cos y}\,dy = -\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln|\cos y| + C.
Elimine o logaritmo exponenciando: da igualdade \ln|\cos y| = \ln|x| + C_1 segue
|\cos y| = e^{C_1}\,|x|.
Chamando A=e^{C_1}>0 e abrindo o valor absoluto (podemos incorporar sinal em uma constante real C), escrevemos de forma mais simples
\cos y = C x,
onde C é uma constante real arbitrária. Esta é a solução implícita geral da EDO (válida nas regiões onde a separação e as integrais foram legítimas, isto é, onde x\neq0 e \operatorname{sen} y\neq0).
Passo 6
Agora imponha a condição inicial \displaystyle y(e)=2\pi. Substituindo na solução implícita:
\cos(2\pi) = C\cdot e.
Como \cos(2\pi)=1, obtemos
1 = C e \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{1}{e}.
Portanto a solução particular (implícita) que satisfaz a condição inicial é
\cos y = \frac{x}{e}.
Passo 7
Passar para uma forma explícita em y. A equação \cos y=\dfrac{x}{e} implica que
pois o cosseno é periódico e par. Agora precisamos escolher a ramificação (valor de k e sinal) que faz y(e)=2\pi. Note que \operatorname{arccos}(1)=0. Tomando k=1 e o sinal + (por exemplo) temos, em particular,
e em x=e obtemos y(e)=2\pi+0=2\pi, conforme pedido. Outra escolha que também dá y(e)=2\pi seria y(x)=2\pi-\operatorname{arccos}\!\left(\frac{x}{e}\right) com k=1; ambas expressam a mesma igualdade \cos y=x/e porque o cosseno não distingue y e -y modulo 2\pi. Para fixar uma solução contínua ao redor de x=e e com \operatorname{arccos} tomando valores em [0,\pi], vou escolher
Determine o domínio onde essa solução vale e onde a EDO é satisfeita:
A condição \cos y = x/e exige |x/e|\le 1, logo -e\le x\le e.
A equação diferencial original tem fator 1/x, portanto x=0 é singular e não podemos atravessá-lo. Como o ponto inicial é x=e>0, o intervalo natural de existência que contém e e evita x=0 é 0<x\le e (ou 0<x<e se quisermos excluir o ponto limite onde \operatorname{sen} y=0).
Observação importante sobre x=e: em x=e temos \operatorname{sen} y=0, então o lado direito da EDO -\dfrac{\cos y}{x\operatorname{sen} y} não está definido exatamente em x=e. A solução que fornecemos satisfaz a equação diferencial em \;0<x<e\; (onde \operatorname{sen} y\neq0), e atende a condição inicial como valor em x=e por continuidade da expressão \cos y=x/e. Em problemas clássicos de PVI, isso é uma situação em que o ponto inicial é singular; a construção acima fornece a solução que tende ao valor pedido em x=e e resolve a EDO em um intervalo à esquerda de e.
Resposta
y(x)=2\pi+\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{x}{e}\right),\quad 0<x\le e