Exercício 2. Em cada item, indique se a matriz B está ou na forma escalonada e/ou na forma escalonada reduzida. Em caso negativo para alguma das duas situações, indique todas as condições da definição (vide video da aula síncrona sobre o assunto ou veja no livro de Colombo e Koiller) que não são satisfeitas.
B=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0 & 12 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 1 & 0 & 12\\\\ 0 & 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pede para verificar se ela está em forma escalonada (REF) e/ou em forma escalonada reduzida (RREF). Para isso, vamos usar as definições:
Forma escalonada (REF)
1. Todas as linhas nulas aparecem abaixo das linhas não nulas.
2. Cada linha não nula tem um primeiro elemento não nulo (pivot) que é 1.
3. O pivot de uma linha está sempre estritamente à direita do pivot da linha anterior.
4. Abaixo de cada pivot, todos os elementos são zero.
Forma escalonada reduzida (RREF)
Cumpre todas as condições da REF e, além disso,
5. Cada pivot é o único elemento não nulo em sua coluna (ou seja, acima e abaixo dele são todos zeros).

Passo 2

Verificando a REF em B:
  1. As linhas não nulas são as três primeiras, e há exatamente uma linha nula (a quarta), que está embaixo. → condição 1 ok.
  2. Cada linha não nula tem pivot igual a 1: na linha 1 o pivot está em coluna 1, na linha 2 em coluna 2, na linha 3 em coluna 3. → condição 2 ok.
  3. Os pivots avançam para a direita conforme descemos: coluna 1\to coluna 2\to coluna 3. → condição 3 ok.
  4. Abaixo de cada pivot todos os elementos são zero (as entradas abaixo de (1,1), (2,2) e (3,3) são zeros). → condição 4 ok.
Logo, B está em forma escalonada (REF).

Passo 3

Verificando a RREF em B:
– Já temos todas as propriedades da REF.
– Falta verificar se cada pivot é o único elemento não nulo em sua coluna.
Em B:
  • Coluna 1 tem 1 em (1,1) e zeros acima/abaixo.
  • Coluna 2 tem 1 em (2,2) e zeros acima/abaixo.
  • Coluna 3 tem 1 em (3,3) e zeros acima/abaixo.
Portanto cada coluna de pivot em B tem zeros em todas as outras posições, satisfazendo a condição 5 da RREF.

Resposta

A matriz B está em forma escalonada (REF) e também em forma escalonada reduzida (RREF).

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