Exercício 2. Para cada uma das matrizes abaixo, faça o que se pede.
A=[ll 5 & 2 2 & 2 ] A=[lll 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ]
(b) Como A é uma matriz simétrica sabemos que A é diagonalizável por uma matriz ortogonal. Então construa uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tais que P^-1 A P=D.

Passo 1

O enunciado pede para cada matriz simétrica A construir uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tais que
P^-1AP = D
O conteúdo envolvido é diagonalização de matrizes simétricas: precisamos encontrar autovalores reais de A, seus autovetores ortogonais, normalizá-los e montar P com esses vetores como colunas e D com os autovalores na diagonal.

Passo 2

Para uma matriz simétrica AinR^ntimes n temos sempre:
1. Os autovalores lambdai são reais, obtidos pela equação característica det(A-lambda I)=0.
2. Autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.
3. Podemos normalizar esses autovetores para obter uma base ortonormal u1,dots,un. Então P=[,u1;cdots;un] é ortogonal ( P^-1=P^T) e
P^T A,P = D = diag(lambda1,dots,lambdan)

Passo 3

Aplicando ao caso
A = 5 & 22 & 2,
calculemos os autovalores:
detl(A-lambda Ir) = det5-lambda & 22 & 2-lambda = (5-lambda)(2-lambda)-4 =lambda^2 -7lambda+6=0
As raízes são lambda1=1 e lambda2=6.

Passo 4

Para , resolvemos :
logo um autovetor é . Normalizando,
Para , , escolhemos e normalizamos:
Então
]

Passo 5

Agora para
A = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ,
a equação característica dá os autovalores lambda=2 (multiplicidade 1) e lambda=-1 (multiplicidade 2).

Passo 6

Para lambda=2, solve-se
(A-2I)v=0implies -2x+y+z=0,;x-2y+z=0,;x+y-2z=0
cuja solução é v1=(1,1,1). Normalizando,
u1=1raiz3(1,1,1)
Para lambda=-1, solve-se
(A+I)v=0implies x+y+z=0,
o que define o plano de dimensão 2. Escolhemos dois vetores independentes e ortogonais:
v2=(1,-1,0), v3=(1,1,-2)
Verifica-se v2cdot v3=0, então basta normalizar:
u2=1raiz2(1,-1,0), u3=1raiz6(1,1,-2)
Montando P=[u1;u2;u3], temos
P = tfrac1raiz3 & tfrac1raiz2 & tfrac1raiz6[4pt] tfrac1raiz3 & -tfrac1raiz2 & tfrac1raiz6[4pt] tfrac1raiz3 & 0 & -tfrac2raiz6 , D = 2&0&00&-1&00&0&-1 ]

Resposta

Para A=5&22&2:
P = 1raiz5 & 2raiz5[6pt] -2raiz5 & 1raiz5 , D = 1&00&6
Para A=0&1&11&0&11&1&0:
P = 1raiz3 & 1raiz2 & 1raiz6[4pt] 1raiz3 & -1raiz2 & 1raiz6[4pt] 1raiz3 & 0 & -2raiz6 , D = 2&0&00&-1&00&0&-1 ]

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