Exercício 2. Para cada uma das matrizes abaixo, faça o que se pede.
(b) Como A é uma matriz simétrica sabemos que A é diagonalizável por uma matriz ortogonal. Então construa uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tais que P^-1 A P=D.
Passo 1
O enunciado pede para cada matriz simétrica A construir uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tais que
P^-1AP = D
O conteúdo envolvido é diagonalização de matrizes simétricas: precisamos encontrar autovalores reais de A, seus autovetores ortogonais, normalizá-los e montar P com esses vetores como colunas e D com os autovalores na diagonal.
Passo 2
Para uma matriz simétrica AinR^ntimes n temos sempre: 1. Os autovalores lambdai são reais, obtidos pela equação característica det(A-lambda I)=0. 2. Autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais. 3. Podemos normalizar esses autovetores para obter uma base ortonormal u1,dots,un. Então P=[,u1;cdots;un] é ortogonal (P^-1=P^T) e