Exercício 3. No sistema de coordenadas usual
considere a parábola de equação
Efetue uma rotação de
nesta parábola e determine a equação, no mesmo sistema de coordenadas
, da curva resultante após a rotação. Determine explicitamente as coordenadas do vértice desta parábola rodada.
Passo 1
O enunciado nos dá a parábola de equação
no plano usual
e pede a curva resultante após rotação de
em torno da origem. O conteúdo aqui é transformação de coordenadas por rotação, e vamos precisar usar as fórmulas que relacionam as coordenadas originais de cada ponto
com as coordenadas
do ponto rodado.
Passo 2
Em uma rotação de ângulo
em torno da origem, cada ponto
da parábola original é levado a um ponto
dado por
Como
e
, temos
Passo 3
Para escrever a equação da curva rodada no mesmo sistema
, invertemos essas fórmulas e expressamos
Passo 4
A condição de ponto na parábola original é
. Substituindo as expressões de
e
em função de
obtemos
Multiplicando ambos os lados por
e reunindo todos os termos, chega-se à forma implícita
Passo 5
O vértice da parábola original é
. Aplicando a rotação de
sobre esse ponto, suas coordenadas ficam
Resposta
vértice em
.