Exercício 3. No sistema de coordenadas usual x y considere a parábola de equação
y=x(x-2)
Efetue uma rotação de 30^circ nesta parábola e determine a equação, no mesmo sistema de coordenadas x y, da curva resultante após a rotação. Determine explicitamente as coordenadas do vértice desta parábola rodada.

Passo 1

O enunciado nos dá a parábola de equação
y = x(x-2)
no plano usual xy e pede a curva resultante após rotação de 30^circ em torno da origem. O conteúdo aqui é transformação de coordenadas por rotação, e vamos precisar usar as fórmulas que relacionam as coordenadas originais de cada ponto (u,v) com as coordenadas (x,y) do ponto rodado.

Passo 2

Em uma rotação de ângulo theta=30^circ em torno da origem, cada ponto (u,v) da parábola original é levado a um ponto (x,y) dado por
x = ucostheta ;-; vsintheta,
y = usintheta ;+; vcostheta
Como cos30^circ=tfracraiz32 e sin30^circ=tfrac12, temos
x = raiz32,u ;-;12,v,
y = 12,u ;+;raiz32,v

Passo 3

Para escrever a equação da curva rodada no mesmo sistema xy, invertemos essas fórmulas e expressamos
u = xcostheta + ysintheta = raiz32,x + 12,y,
v = -,xsintheta + ycostheta = -12,x + raiz32,y

Passo 4

A condição de ponto na parábola original é v = u^2 - 2u. Substituindo as expressões de u e v em função de x,y obtemos
-12,x + raiz32,y = l(raiz32,x + 12,yr)^2 ;-; 2l(raiz32,x + 12,yr)
Multiplicando ambos os lados por 4 e reunindo todos os termos, chega-se à forma implícita
3x^2 + 2raiz3,x y + y^2 + (2 - 4raiz3),x ;-;(4 + 2raiz3),y = 0

Passo 5

O vértice da parábola original é (u,v)=(1,-1). Aplicando a rotação de 30^circ sobre esse ponto, suas coordenadas ficam
Xv = 1cdotraiz32 ;-;(-1)cdot12 = raiz3+12,
Yv = 1cdot12 ;+;(-1)cdotraiz32 = 1-raiz32

Resposta

3x^2 + 2raiz3,x y + y^2 + (2 - 4raiz3),x ;-;(4 + 2raiz3),y = 0,
vértice em l(tfracraiz3+12,tfrac1-raiz32r).

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