Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo, encontre uma primitiva da função
, onde:
para
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma primitiva da função
definida por
Ou seja, precisamos encontrar uma função
tal que
para todo
. As informações relevantes: a função é o produto de
por
; o domínio é
. Nada mais foi dado.
Passo 2
O que é uma primitiva? Uma primitiva
de
satisfaz
. Para integrais de produtos de funções como
é muito comum usar a fórmula de integração por partes. Vou lembrar e justificar a fórmula de integração por partes de maneira curta e intuitiva: a partir da regra do produto para derivadas,
Integrando ambos os lados em
e reorganizando obtém-se a fórmula
onde escrevemos
e
. Explico: aqui
e
são funções de
;
e
representam seus diferenciais. Essa fórmula é útil quando escolhemos
que fica mais simples ao derivar e
cuja integral
é fácil de calcular.
Passo 3
Escolha de
e
. Para
a escolha clássica e eficiente é
porque ao derivar
ficamos com algo mais simples (
) e
tem antiderivada conhecida (a exponencial). Esta escolha segue a regra prática “escolher
que simplifica ao derivar”.
Passo 4
Calcular
e
.
Derivando obtemos
Derivando
Integrando
obtemos
. Sabemos que a integral de
é
. Então
Aqui usei que a derivada de
é
(regra da cadeia), logo ao integrar apareceria o fator
.
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Agora calculamos a integral restante. A integral de
já foi feita:
Portanto,
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Fazer a simplificação algébrica final para deixar em forma mais compacta:
Colocando em denominador comum:
logo uma forma limpa da primitiva é
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando
usando a regra do produto e a regra da cadeia,
que é exatamente
. Então a primitiva está correta. Você conseguiu — dificil no começo, mas a técnica vale muito a pena!