Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo, encontre uma primitiva da função f, onde:
f(x) \doteq x \cdot e^{3 x}, \quad para x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva da função f definida por
f(x) \doteq x \cdot e^{3x},\quad x\in\mathbb{R}.
Ou seja, precisamos encontrar uma função F tal que F'(x)=f(x) para todo x\in\mathbb{R}. As informações relevantes: a função é o produto de x por e^{3x}; o domínio é \mathbb{R}. Nada mais foi dado.

Passo 2

O que é uma primitiva? Uma primitiva F de f satisfaz F'(x)=f(x). Para integrais de produtos de funções como x\cdot e^{3x} é muito comum usar a fórmula de integração por partes. Vou lembrar e justificar a fórmula de integração por partes de maneira curta e intuitiva: a partir da regra do produto para derivadas,
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em x e reorganizando obtém-se a fórmula
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escrevemos du=u'(x)\,dx e dv=v'(x)\,dx. Explico: aqui u e v são funções de x; du e dv representam seus diferenciais. Essa fórmula é útil quando escolhemos u que fica mais simples ao derivar e dv cuja integral v é fácil de calcular.

Passo 3

Escolha de u e dv. Para \int x e^{3x}\,dx a escolha clássica e eficiente é
u = x \quad\text{e}\quad dv = e^{3x}\,dx,
porque ao derivar u ficamos com algo mais simples ( du=dx) e dv tem antiderivada conhecida (a exponencial). Esta escolha segue a regra prática “escolher u que simplifica ao derivar”.

Passo 4

Calcular du e v.
Derivando u obtemos
du = u'(x)\,dx = 1\cdot dx = dx.
Integrando dv obtemos v. Sabemos que a integral de e^{ax} é \dfrac{1}{a}e^{ax}. Então
v = \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}.
Aqui usei que a derivada de e^{3x} é 3e^{3x} (regra da cadeia), logo ao integrar apareceria o fator \tfrac{1}{3}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int x e^{3x}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x e^{3x}\,dx = x\cdot\frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx.
Agora calculamos a integral restante. A integral de e^{3x} já foi feita:
\int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}e^{3x} = \frac{1}{9}e^{3x}.
Portanto,
\int x e^{3x}\,dx = \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Fazer a simplificação algébrica final para deixar em forma mais compacta:
\frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} = e^{3x}\!\left(\frac{x}{3}-\frac{1}{9}\right).
Colocando em denominador comum:
\frac{x}{3}-\frac{1}{9}=\frac{3x-1}{9},
logo uma forma limpa da primitiva é
F(x)=\frac{3x-1}{9}\,e^{3x}+C.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando F(x)=\dfrac{3x-1}{9}e^{3x} usando a regra do produto e a regra da cadeia,
F'(x)=\frac{1}{9}\Big(3\cdot e^{3x} + (3x-1)\cdot 3e^{3x}\Big) =\frac{3e^{3x}}{9}\big(1+3x-1\big) =e^{3x}x,
que é exatamente f(x). Então a primitiva está correta. Você conseguiu — dificil no começo, mas a técnica vale muito a pena!

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{3x-1}{9}\,e^{3x}+C

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