Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
4 x^{2}-y^{2}-32 x+4 y+24=0

Passo 1

O enunciado dá a curva de equação
4x^{2}-y^{2}-32x+4y+24=0
e pede que a classifiquemos, a escrevamos em forma canónica quando possível, e a caracterizemos: centro, vértices, focos, directrizes, assíntotas, excentricidade, pontos de interseção com os eixos, além de esboçar o gráfico. Para isso, vamos completar quadrados e colocar na forma padrão de conica.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos quadrados:
4(x^2-8x)\;-\;(y^2-4y)\;+\;24\;=\;0.
Dentro de cada parêntesis:
x^2-8x = (x-4)^2 -16, \qquad y^2-4y = (y-2)^2 -4.
Substituindo:
4\bigl[(x-4)^2 -16\bigr]\;-\;\bigl[(y-2)^2 -4\bigr]\;+\;24=0 \;\Longrightarrow\; 4(x-4)^2 -64 \;-\;(y-2)^2 +4 \;+\;24 =0 \;\Longrightarrow\; 4(x-4)^2 - (y-2)^2 -36 =0.

Passo 3

Isolando e dividindo por 36 obtemos a forma canónica
\frac{(x-4)^2}{9} \;-\;\frac{(y-2)^2}{36} \;=\;1.
Como um termo é positivo e o outro negativo, trata-se de uma hipérbole de eixo transverso horizontal. O centro é
(h,k) = (4,2).
Aqui a^2=9 ( a=3) e b^2=36 ( b=6).

Passo 4

Os vértices ficam a distância a do centro ao longo do eixo x:
(4\pm 3,\;2) \;\Longrightarrow\; (7,2) \quad\text{e}\quad (1,2).

Passo 5

Para os focos calculamos c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 36 = 45, logo c = 3\sqrt{5}. Os focos são
(4\pm 3\sqrt{5},\;2).

Passo 6

A excentricidade é
e = \frac{c}{a} = \frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}.

Passo 7

As directrizes de uma hipérbole horizontal são retas verticais dadas por
x - 4 = \pm \frac{a}{e} \;\Longrightarrow\; x = 4 \pm \frac{3}{\sqrt{5}}.

Passo 8

As assíntotas saem do centro com coeficientes angulares \pm \tfrac{b}{a} = \pm 2, isto é,
y - 2 = 2(x - 4) \quad\text{e}\quad y - 2 = -2(x - 4).
Ou seja,
y = 2x - 6 \quad\text{e}\quad y = -2x +10.

Passo 9

Interseções com os eixos coordenados:
  • Em y=0 (eixo x):
    4x^2 -32x +24 = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 -8x +6 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 4\pm \sqrt{10}.
    Pontos \,(4+\sqrt{10},0) e (4-\sqrt{10},0).
  • Em x=0 (eixo y):
    -y^2 +4y +24 = 0 \;\Longrightarrow\; y^2 -4y -24 = 0 \;\Longrightarrow\; y = 2\pm 2\sqrt{7}.
    Pontos \,(0,\,2+2\sqrt{7}) e (0,\,2-2\sqrt{7}).

Resposta

Classificação: hipérbole horizontal.
Equação canónica:
\frac{(x-4)^2}{9} - \frac{(y-2)^2}{36} = 1.
Centro: (4,2).
Vértices: (7,2), (1,2).
Focos: \bigl(4\pm3\sqrt{5},2\bigr).
Excentricidade: e=\sqrt{5}.
Directrizes: x = 4 \pm \tfrac{3}{\sqrt{5}}.
Assíntotas: y = 2x-6 e y = -2x+10.
Interseções com eixos:
x-eixo em \bigl(4\pm\sqrt{10},0\bigr);
y-eixo em \bigl(0,2\pm2\sqrt{7}\bigr).
Esboço: hipérbole centrada em (4,2), ramos abertos para a esquerda e direita, tangentes às assíntotas acima.

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