Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a curva de equação
e pede que a classifiquemos, a escrevamos em forma canónica quando possível, e a caracterizemos: centro, vértices, focos, directrizes, assíntotas, excentricidade, pontos de interseção com os eixos, além de esboçar o gráfico. Para isso, vamos completar quadrados e colocar na forma padrão de conica.
Passo 2
Agrupamos termos em
e em
e completamos quadrados:
Dentro de cada parêntesis:
Substituindo:
Passo 3
Isolando e dividindo por
obtemos a forma canónica
Como um termo é positivo e o outro negativo, trata-se de uma hipérbole de eixo transverso horizontal. O centro é
Aqui
(
) e
(
).
Passo 4
Os vértices ficam a distância
do centro ao longo do eixo
:
Passo 5
Para os focos calculamos
, logo
. Os focos são
Passo 6
A excentricidade é
Passo 7
As directrizes de uma hipérbole horizontal são retas verticais dadas por
Passo 8
As assíntotas saem do centro com coeficientes angulares
, isto é,
Ou seja,
Passo 9
Interseções com os eixos coordenados:
-
Em
(eixo ): Pontose . -
Em
(eixo ): Pontose .
Resposta
Classificação: hipérbole horizontal.
Equação canónica:
Equação canónica:
Centro:
.
Vértices: ,
.
Focos: .
Excentricidade: .
Directrizes: .
Assíntotas: e
.
Interseções com eixos:
-eixo em
;
-eixo em
.
Esboço: hipérbole centrada em , ramos abertos para a esquerda e direita, tangentes às assíntotas acima.
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Directrizes:
Assíntotas:
Interseções com eixos:
Esboço: hipérbole centrada em