Investigar a integral imprópria
.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria
O conteúdo envolve integrais impróprias com duas fontes de “perigo”: o intervalo é ilimitado e há uma singularidade em
. Vamos dividir o problema em partes e usar critérios de convergência de integrais impróprias.
Passo 2
Separamos a integral em duas integrais impróprias ao redor do ponto singular
:
Cada uma destas deve ser interpretada como limite em relação à aproximação do infinito e da singularidade.
Passo 3
Reconhecemos que a função
tem uma descontinuidade não integrável em
(é do tipo “pólo de ordem 2”) e que os intervalos vão a
. Se ao menos uma das partes divergir, a integral total diverge.
Passo 4
Calculamos a primitiva de
:
Agora examinamos, por exemplo,
Ao aplicar os limites, obtemos
Quando
,
. Portanto esta parte já diverge para
. O mesmo ocorre na parte de
até
.
Resposta
A integral imprópria
diverge (não converge).