Investigar a integral imprópria \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x-5)^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x-5)^{2}}\,dx.
O conteúdo envolve integrais impróprias com duas fontes de “perigo”: o intervalo é ilimitado e há uma singularidade em x=5. Vamos dividir o problema em partes e usar critérios de convergência de integrais impróprias.

Passo 2

Separamos a integral em duas integrais impróprias ao redor do ponto singular x=5:
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(x-5)^{2}}\,dx = \int_{-\infty}^{5}\frac{1}{(x-5)^{2}}\,dx + \int_{5}^{+\infty}\frac{1}{(x-5)^{2}}\,dx.
Cada uma destas deve ser interpretada como limite em relação à aproximação do infinito e da singularidade.

Passo 3

Reconhecemos que a função \frac{1}{(x-5)^{2}} tem uma descontinuidade não integrável em x=5 (é do tipo “pólo de ordem 2”) e que os intervalos vão a \pm\infty. Se ao menos uma das partes divergir, a integral total diverge.

Passo 4

Calculamos a primitiva de \frac{1}{(x-5)^{2}}:
\int \frac{1}{(x-5)^{2}}\,dx = -\frac{1}{x-5} + C.
Agora examinamos, por exemplo,
\int_{-\infty}^{5}\frac{1}{(x-5)^{2}}\,dx = \lim_{a\to -\infty}\,\lim_{\epsilon\to 0+} \int_{a}^{\,5-\epsilon}\frac{1}{(x-5)^{2}}\,dx = \lim_{a\to -\infty}\,\lim_{\epsilon\to 0+} \Bigl[-\frac{1}{x-5}\Bigr]_{x=a}^{x=5-\epsilon}.
Ao aplicar os limites, obtemos
\Bigl(-\tfrac{1}{(5-\epsilon)-5}\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{1}{a-5}\Bigr) = \frac{1}{\epsilon} + \frac{1}{a-5}.
Quando \epsilon\to0+, \tfrac1\epsilon\to+\infty. Portanto esta parte já diverge para +\infty. O mesmo ocorre na parte de 5 até +\infty.

Resposta

A integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x-5)^{2}}\,dx
diverge (não converge).

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