Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
x^{2}-2 x-20 y-39=0

Passo 1

O enunciado dá a cônica
x^{2}-2x-20y-39=0
e pede que a classifiquemos, coloquemos em forma-canônica, achemos vértice, foco, diretriz, eixos, interseções e excentricidade. Para isso vamos completar quadrados em x e reescrever na forma padrão de parábola.

Passo 2

Complete o quadrado em x:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1.
Substituindo em x^{2}-2x-20y-39=0:
(x-1)^{2}-1 -20y -39 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)^{2} = 20y +40.

Passo 3

Colocando na forma-canônica de parábola vertical:
(x-1)^{2} = 20\,(y+2).
Comparando com (x-h)^{2}=4p(y-k), temos
h=1,\quad k=-2,\quad 4p=20\;\Rightarrow\;p=5.
Como p>0, é parábola que abre para cima.

Passo 4

Do parâmetro p=5 obtemos:
vértice V=(h,k)=(1,-2),
foco F=(h,k+p)=(1,\,3),
diretriz y=k-p=-7,
eixo de simetria x=1.

Passo 5

Interseções com os eixos:
– Eixo x ( y=0):
x^{2}-2x-39=0 \;\Rightarrow\; x = \frac{2\pm\sqrt{4+156}}{2} =1\pm2\sqrt{10}.
Pontos \bigl(1+2\sqrt{10},0\bigr) e \bigl(1-2\sqrt{10},0\bigr).
– Eixo y ( x=0):
-20y-39=0\;\Rightarrow\;y=-\frac{39}{20}=-1{,}95,
ponto \bigl(0,-1{,}95\bigr).

Passo 6

Parábola tem excentricidade
e=1,
não tem assintotas (apenas parábola).

Passo 7

Esboço: vértice em (1,-2), foco em (1,3), diretriz reta horizontal y=-7, eixo vertical x=1. Abre para cima. Marcam-se também as interseções com os eixos e o foco dentro da “boca” da parábola.

Resposta

Parábola vertical com:
forma-canônica \,(x-1)^{2}=20(y+2).
vértice V=(1,-2).
foco F=(1,3).
diretriz y=-7.
eixo de simetria x=1.
excentricidade e=1.
interseções:
\bigl(1\pm2\sqrt{10},0\bigr) no eixo x e \bigl(0,-\tfrac{39}{20}\bigr) no eixo y.
sem assintotas.
esboço conforme descrito no passo 7.

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