Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede: classificação da cônica, equação canônica, centro, vértices, focos, retas diretriz, assintotas (quando existirem), excentricidade, pontos de interseção com os eixos e esboço do gráfico. Vamos usar o método de completar quadrados para obter a forma canônica de uma cônica geral.
Passo 2
Agrupamos termos em
e
e completamos quadrados:
No grupo de
:
, adiciona-se
.
No grupo de :
, adiciona-se
.
Portanto, somando dos dois lados, obtemos
No grupo de
Portanto, somando
Passo 3
Dividindo por
chega-se à forma canônica
Como ambos os termos são positivos e somam
, trata-se de uma ELIPSE. O termo maior no denominador
está junto a
, logo o eixo maior é vertical.
Passo 4
Da forma
vemos
e o centro
Passo 5
Os vértices (extremos do eixo maior, vertical) são
Os co-vértices (eixo menor, horizontal) são
Passo 6
Calculamos
pelos focos:
Como o eixo maior é vertical, os focos são
A excentricidade é
Passo 7
As retas diretriz de uma elipse vertical centrada em
são
ou seja aqui
resultando em
Passo 8
Não há assintotas para elipse.
Passo 9
Interseções com os eixos coordenados:
- Eixo
( ):
- Eixo
( ):
Passo 10
Esboço do gráfico:
- Centro em
. - Elipse vertical, altura total
, largura total . - Vértices em
e . - Co-vértices em
e . - Focos em
e . - Diretrizes horizontais em
e . - Interseções com eixos conforme calculado acima.
Resposta
Equação canônica:
Centro:
Vértices: ,
Co-vértices: ,
Focos: ,
Excentricidade:
Retas diretriz: e
Assintotas: não se aplicam (elipse)
Interseções com eixos:
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Excentricidade:
Retas diretriz:
Assintotas: não se aplicam (elipse)
Interseções com eixos:
Esboço: elipse vertical centrada em
com os pontos acima.