Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
25 x^{2}+16 y^{2}+50 x+64 y-311=0

Passo 1

O enunciado dá a curva
25x^{2}+16y^{2}+50x+64y-311=0
e pede: classificação da cônica, equação canônica, centro, vértices, focos, retas diretriz, assintotas (quando existirem), excentricidade, pontos de interseção com os eixos e esboço do gráfico. Vamos usar o método de completar quadrados para obter a forma canônica de uma cônica geral.

Passo 2

Agrupamos termos em x e y e completamos quadrados:
25\bigl(x^{2}+2x\bigr)+16\bigl(y^{2}+4y\bigr)-311=0.
No grupo de x: x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}, adiciona-se 25\cdot1=25.
No grupo de y: y^{2}+4y+4=(y+2)^{2}, adiciona-se 16\cdot4=64.
Portanto, somando 25+64=89 dos dois lados, obtemos
25(x+1)^{2}+16(y+2)^{2}=311+89=400.

Passo 3

Dividindo por 400 chega-se à forma canônica
\frac{(x+1)^{2}}{16}+\frac{(y+2)^{2}}{25}=1.
Como ambos os termos são positivos e somam 1, trata-se de uma ELIPSE. O termo maior no denominador \,25 está junto a (y+2)^{2}, logo o eixo maior é vertical.

Passo 4

Da forma
\frac{(x+1)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y+2)^{2}}{a^{2}}=1
vemos
a^{2}=25,\quad b^{2}=16,\quad a=5,\quad b=4,
e o centro
C = (-1,-2).

Passo 5

Os vértices (extremos do eixo maior, vertical) são
V_{1}=(-1,\,-2+5)=(-1,3),\qquad V_{2}=(-1,\,-2-5)=(-1,-7).
Os co-vértices (eixo menor, horizontal) são
C_{1}=(-1+4,\,-2)=(3,-2),\qquad C_{2}=(-1-4,\,-2)=(-5,-2).

Passo 6

Calculamos c pelos focos:
c^{2}=a^{2}-b^{2}=25-16=9,\quad c=3.
Como o eixo maior é vertical, os focos são
F_{1}=(-1,\,-2+3)=(-1,1),\qquad F_{2}=(-1,\,-2-3)=(-1,-5).
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}.

Passo 7

As retas diretriz de uma elipse vertical centrada em (x_{0},y_{0}) são
y-y_{0}=\pm\frac{a}{e},
ou seja aqui
y+2=\pm\frac{5}{3/5}=\pm\frac{25}{3}
resultando em
y=\,-2+\frac{25}{3}=\frac{19}{3}, \quad y=\,-2-\frac{25}{3}=-\frac{31}{3}.

Passo 8

Não há assintotas para elipse.

Passo 9

Interseções com os eixos coordenados:
  1. Eixo x ( y=0):
\frac{(x+1)^{2}}{16}+\frac{(0+2)^{2}}{25}=1 \;\Longrightarrow\; \frac{(x+1)^{2}}{16}+\frac{4}{25}=1 \;\Longrightarrow\; (x+1)^{2}=\frac{16\cdot21}{25}=\frac{336}{25}
x+1=\pm\frac{\sqrt{336}}{5}=\pm\frac{4\sqrt{21}}{5} \;\Longrightarrow\; x=-1\pm\frac{4\sqrt{21}}{5}.
  1. Eixo y ( x=0):
\frac{(0+1)^{2}}{16}+\frac{(y+2)^{2}}{25}=1 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{16}+\frac{(y+2)^{2}}{25}=1 \;\Longrightarrow\; (y+2)^{2}=\frac{25\cdot15}{16}=\frac{375}{16}
y+2=\pm\frac{\sqrt{375}}{4}=\pm\frac{5\sqrt{15}}{4} \;\Longrightarrow\; y=-2\pm\frac{5\sqrt{15}}{4}.

Passo 10

Esboço do gráfico:
  • Centro em (-1,-2).
  • Elipse vertical, altura total 2a=10, largura total 2b=8.
  • Vértices em (-1,3) e (-1,-7).
  • Co-vértices em (3,-2) e (-5,-2).
  • Focos em (-1,1) e (-1,-5).
  • Diretrizes horizontais em y=19/3 e y=-31/3.
  • Interseções com eixos conforme calculado acima.

Resposta

Equação canônica:
\frac{(x+1)^{2}}{16}+\frac{(y+2)^{2}}{25}=1.
Centro: C(-1,-2)
Vértices: (-1,3), (-1,-7)
Co-vértices: (3,-2), (-5,-2)
Focos: (-1,1), (-1,-5)
Excentricidade: e=3/5
Retas diretriz: y=19/3 e y=-31/3
Assintotas: não se aplicam (elipse)
Interseções com eixos:
x=-1\pm\frac{4\sqrt{21}}{5}\quad (y=0), \quad y=-2\pm\frac{5\sqrt{15}}{4}\quad(x=0).
Esboço: elipse vertical centrada em (-1,-2) com os pontos acima.

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