Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.
\int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{sec} ^{2} x}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\sqrt{x}}\,dx
usando o Teorema da Comparação. Note que há duas fontes de impropriedade: em x=0 (porque \sqrt{x}\to0) e em cada ponto onde \cos x=0 (ou seja, em x=\tfrac\pi2+k\pi), onde \operatorname{sec}^2x explode. Vamos primeiro verificar a região próxima a 0 e depois mostrar que basta uma única vizinhança de uma das singularidades para concluir que a integral diverge.

Passo 2

Analisando o comportamento em x\to0^+: como
\operatorname{sec}^2x = \frac1{\cos^2x}
e \cos x\to1, existe C>0 tal que para 0<x\le1
\operatorname{sec}^2x \le C.
Logo, para 0<x\le1,
0 \le \frac{\operatorname{sec}^2x}{\sqrt{x}} \le \frac{C}{\sqrt{x}}.
Como
\int_{0}^{1}\frac{C}{\sqrt{x}}\,dx =2C\sqrt{x}\Big|_{0}^{1} =2C<\infty,
a parte de 0 a 1 converge por comparação com x^{-1/2}.

Passo 3

Agora, considere a vizinhança de x_{0}=\tfrac\pi2. Escrevendo x=\tfrac\pi2+t, para |t| pequeno temos a aproximação
\cos x=\cos\bigl(\tfrac\pi2+t\bigr)\approx -\,t,
isto é, existe \delta>0 tal que para |t|<\delta
|\cos x|\le 2|t|\quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sec}^2x=\frac1{\cos^2x}\ge \frac1{4\,t^2}.
Além disso, em |t|<\delta temos \sqrt{x}=\sqrt{\tfrac\pi2+t}\le \sqrt{\tfrac\pi2+\delta}=M. Logo, para x\in\bigl(\tfrac\pi2-\delta,\tfrac\pi2+\delta\bigr),
\frac{\operatorname{sec}^2x}{\sqrt{x}} \ge \frac{1}{4\,t^2}\,\frac1{M} =\frac{1}{4M}\,\frac1{(x-\tfrac\pi2)^2}.
Mas
\int_{\tfrac\pi2-\delta}^{\tfrac\pi2+\delta}\frac{1}{(x-\tfrac\pi2)^2}\,dx
é divergente (é a integral de t^{-2} em torno de t=0). Portanto, mesmo restringindo a integral original a essa vizinhança de x_{0}, ela já diverge por comparação com (x-\tfrac\pi2)^{-2}.

Resposta

A integral
\int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\sqrt{x}}\,dx
é divergente.

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