Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente. \int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{sec} ^{2} x}{\sqrt{x}} d x
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da integral imprópria
usando o Teorema da Comparação. Note que há duas fontes de impropriedade: em x=0 (porque \sqrt{x}\to0) e em cada ponto onde \cos x=0 (ou seja, em x=\tfrac\pi2+k\pi), onde \operatorname{sec}^2x explode. Vamos primeiro verificar a região próxima a 0 e depois mostrar que basta uma única vizinhança de uma das singularidades para concluir que a integral diverge.
Passo 2
Analisando o comportamento em x\to0^+: como \operatorname{sec}^2x = \frac1{\cos^2x}
e \cos x\to1, existe C>0 tal que para 0<x\le1
a parte de 0 a 1 converge por comparação com x^{-1/2}.
Passo 3
Agora, considere a vizinhança de x_{0}=\tfrac\pi2. Escrevendo x=\tfrac\pi2+t, para |t| pequeno temos a aproximação \cos x=\cos\bigl(\tfrac\pi2+t\bigr)\approx -\,t,
isto é, existe \delta>0 tal que para |t|<\delta
Além disso, em |t|<\delta temos \sqrt{x}=\sqrt{\tfrac\pi2+t}\le \sqrt{\tfrac\pi2+\delta}=M. Logo, para x\in\bigl(\tfrac\pi2-\delta,\tfrac\pi2+\delta\bigr),
é divergente (é a integral de t^{-2} em torno de t=0). Portanto, mesmo restringindo a integral original a essa vizinhança de x_{0}, ela já diverge por comparação com (x-\tfrac\pi2)^{-2}.