Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
y=4 x-x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a curva
y = 4x - x^2
e pede que a classifiquemos como cônica, colocando-a em forma canônica, identificando vértice, foco, diretriz, excentricidade, centro (se houver), assíntotas (se houver), interseções com os eixos, além de esboçar o gráfico. Para parábolas, a estratégia é completar o quadrado em x e compará-la à forma padrão
(x-h)^2 = 4p\,(y-k).

Passo 2

Reescrevendo
y = 4x - x^2 = -\bigl(x^2 - 4x\bigr) = -\Bigl[(x-2)^2 - 4\Bigr] = - (x-2)^2 + 4,
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y - 4 = - (x-2)^2 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-2)^2 = -\,(y-4).
Aqui identificamos (h,k)=(2,4) e 4p = -1, portanto
p = -\tfrac14.

Passo 3

Da forma padrão (x-h)^2 = 4p\,(y-k) temos para esta parábola:
Vértice:
(h,k) = (2,4).
Eixo de simetria:
x = 2.
Como p=-\tfrac14 (negativo), abre para baixo, e o foco fica em
(h,\;k+p) = \bigl(2,\;4 - \tfrac14\bigr) = \bigl(2,\;\tfrac{15}{4}\bigr).
A diretriz é a reta
y = k - p = 4 - \bigl(-\tfrac14\bigr) = \tfrac{17}{4}.

Passo 4

Parâmetros adicionais:
– Excentricidade: para parábola,
e = 1.
– Centro: não se define centro para parábola.
– Assíntotas: parábola não tem assíntotas.
– Interseções com os eixos:
\bullet Eixo y ( x=0):
y = 4\cdot0 - 0^2 = 0 \;\Longrightarrow\; (0,0).
\bullet Eixo x ( y=0):
0 = 4x - x^2 \;\Longleftrightarrow\; x(4-x)=0 \;\Longrightarrow\; x=0 \text{ ou } x=4,
ou seja, (0,0) e (4,0).

Passo 5

Esboço do gráfico: parábola com concavidade voltada para baixo, vértice em (2,4), cruza o eixo x em (0,0) e (4,0), foco em \bigl(2,\tfrac{15}{4}\bigr) e diretriz y=\tfrac{17}{4}.

Resposta

Classificação: parábola.
Forma canônica:
(x-2)^2 = -\,(y-4).
Vértice: (2,4).
Foco: \bigl(2,\tfrac{15}{4}\bigr).
Diretriz: y = \tfrac{17}{4}.
Excentricidade: e=1.
Centro: não existe.
Assíntotas: não há.
Interseções: com o eixo y em (0,0); com o eixo x em (0,0) e (4,0).
Esboço: parábola invertida com eixo de simetria x=2, vértice em (2,4).

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