Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para a curva dada por
classificá-la, escrever sua forma canônica quando possível, e determinar o centro, os vértices, os focos, as retas diretrizes, as assintotas, a excentricidade, os pontos de interseção com os eixos e esboçar o gráfico. Vamos usar teoria de cônicas (sinais dos termos quadráticos, forma canônica de hipérboles, cálculo de
,
,
, etc.).
Passo 2
Classificamos a cônica observando os coeficientes de
e
. Aqui temos um termo positivo em
e negativo em
, sem termo misto. Logo é uma hipérbole centrada na origem, pois o discriminante dos quadráticos é
.
Passo 3
Colocamos a equação em forma canônica. Partimos de
que equivale a
Passo 4
Da forma
identificamos
O centro é
. Calculamos
Passo 5
Os v’ertices ficam a uma dist^ancia
do centro ao longo do eixo
, pois a hip’erbole est’a “ aberta”\ em
. S~ao
Passo 6
Os focos estão a uma distância
do centro ao longo do mesmo eixo
:
Passo 7
As assintotas de uma hipérbole na forma acima são retas passando pelo centro com inclinações
. Aqui
, então
Passo 8
A excentricidade é
Passo 9
As retas diretrizes têm equações
Passo 10
Para as interseções com os eixos:
- Com o eixo
( ): não tem solução real. - Com o eixo
( ): dá , que coincidem com os vértices.
Resposta
Cônica: hipérbole centrada na origem, aberta nos sentidos de
.
Equação canônica:
Equação canônica:
Centro:
.
Vértices: .
Focos: .
Assintotas: .
Excentricidade: .
Retas diretrizes: .
Pontos de interseção: apenas .
Esboço: hipérbole simétrica em relação aos eixos e
, com ramos acima e abaixo, aproximando-se das retas
e
.
Vértices:
Focos:
Assintotas:
Excentricidade:
Retas diretrizes:
Pontos de interseção: apenas
Esboço: hipérbole simétrica em relação aos eixos