Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
x^{2}-y^{2}+5=0

Passo 1

O enunciado pede para a curva dada por
x^{2}-y^{2}+5=0
classificá-la, escrever sua forma canônica quando possível, e determinar o centro, os vértices, os focos, as retas diretrizes, as assintotas, a excentricidade, os pontos de interseção com os eixos e esboçar o gráfico. Vamos usar teoria de cônicas (sinais dos termos quadráticos, forma canônica de hipérboles, cálculo de a, b, c, etc.).

Passo 2

Classificamos a cônica observando os coeficientes de x^{2} e y^{2}. Aqui temos um termo positivo em x^{2} e negativo em y^{2}, sem termo misto. Logo é uma hipérbole centrada na origem, pois o discriminante dos quadráticos é B^{2}-4AC=0-4(1)(-1)=4>0.

Passo 3

Colocamos a equação em forma canônica. Partimos de
x^{2}-y^{2}+5=0
que equivale a
x^{2}-y^{2}=-5 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}-x^{2}=5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{5}-\frac{x^{2}}{5}=1.

Passo 4

Da forma
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1
identificamos
a^{2}=5,\quad b^{2}=5 \quad\Longrightarrow\quad a=b=\sqrt{5}.
O centro é (0,0). Calculamos
c^{2}=a^{2}+b^{2}=5+5=10 \quad\Longrightarrow\quad c=\sqrt{10}.

Passo 5

Os v’ertices ficam a uma dist^ancia a do centro ao longo do eixo y, pois a hip’erbole est’a “ aberta”\ em y. S~ao
(0,a)=(0,\sqrt{5}), \quad (0,-a)=(0,-\sqrt{5}).

Passo 6

Os focos estão a uma distância c do centro ao longo do mesmo eixo y:
(0,c)=(0,\sqrt{10}), \quad (0,-c)=(0,-\sqrt{10}).

Passo 7

As assintotas de uma hipérbole na forma acima são retas passando pelo centro com inclinações \pm\,\frac{a}{b}. Aqui a=b, então
y=\pm\frac{a}{b}\,x \quad\Longrightarrow\quad y=\pm x.

Passo 8

A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}.

Passo 9

As retas diretrizes têm equações
y=\pm\frac{a}{e} =\pm\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} =\pm\sqrt{\frac{5}{2}}.

Passo 10

Para as interseções com os eixos:
  • Com o eixo x ( y=0): x^{2}+5=0 não tem solução real.
  • Com o eixo y ( x=0): -y^{2}+5=0 y=\pm\sqrt{5}, que coincidem com os vértices.

Resposta

Cônica: hipérbole centrada na origem, aberta nos sentidos de y.
Equação canônica:
\frac{y^{2}}{5}-\frac{x^{2}}{5}=1.
Centro: (0,0).
Vértices: (0,\pm\sqrt{5}).
Focos: (0,\pm\sqrt{10}).
Assintotas: y=\pm x.
Excentricidade: e=\sqrt{2}.
Retas diretrizes: y=\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}}.
Pontos de interseção: apenas (0,\pm\sqrt{5}).
Esboço: hipérbole simétrica em relação aos eixos x e y, com ramos acima e abaixo, aproximando-se das retas y=x e y=-x.

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