Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
4 x^{2}+9 y^{2}+100=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
4x^{2} + 9y^{2} + 100 = 0
e pede: classificação, centro, vértices, focos, diretriz, assíntotas, excentricidade, pontos de interseção e esboço do gráfico. Para resolver, vamos reescrever na forma padrão e analisar a viabilidade de pontos reais.

Passo 2

Isolando os termos quadráticos, temos
4x^{2} + 9y^{2} = -100.
Dividindo ambos os lados por -100, obtemos
\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{100/9} = -1.
Para uma elipse real precisaríamos de
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1
com a^{2}>0 e b^{2}>0. Aqui o lado esquerdo é sempre \ge0 enquanto o lado direito é -1, impossível de satisfazer com x,y\in\mathbb{R}.

Passo 3

Concluímos que não existem pontos reais que satisfaçam a equação. Essa cônica é uma elipse imaginária (ou vazia). Apesar de formalmente ter centro em (0,0), não há vértices, focos, diretrizes, excentricidade ou assíntotas de valor real.

Passo 4

Não há pontos de interseção com o plano real e o gráfico é o conjunto vazio.

Resposta

A curva é uma elipse imaginária (vazia). Não existem centro em valores reais além da posição formal (0,0), nem vértices, nem focos, nem diretrizes, nem excentricidade real, nem assíntotas, nem interseções. O gráfico é o conjunto vazio.

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