Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede a classificação da cônica dada por
além de determinar, quando possível, sua equação (na forma canônica ou fatorada), o centro, os vértices, os focos, as retas diretrizes, as assíntotas, a excentricidade e os pontos de interseção, e por fim esboçar o gráfico.
Passo 2
Escrevemos a equação como produto de fatores lineares:
Logo a “cônica” é, na verdade, a união das duas retas
Como vem de uma forma
com constante zero, trata-se de uma hipérbole degenerada (duas retas).
Passo 3
Centro: ponto de interseção das retas
e
, que é
Vértices: não há ramos nem vértices, pois é degenerada.
Focos e retas diretrizes: não se definem para esta degeneração.
Assíntotas: também não se definem, pois as próprias retas são a “cônica”.
Excentricidade: não está definida no caso degenerado.
Focos e retas diretrizes: não se definem para esta degeneração.
Assíntotas: também não se definem, pois as próprias retas são a “cônica”.
Excentricidade: não está definida no caso degenerado.
Passo 4
Pontos de interseção com os eixos coordenados:
– Em -eixo (
): de
vem
.
– Em -eixo (
): de
vem
.
Há apenas o ponto , que é o único ponto comum às duas retas.
– Em
– Em
Há apenas o ponto
Passo 5
Esboço do gráfico: duas retas passando pela origem, formando um “X” de inclinação
e
.
Resposta
Classificação: hipérbole degenerada (duas retas).
Equação fatorada: , i.e.,
.
Centro: .
Vértices: não existem.
Focos: não existem.
Retas diretrizes: não se aplicam.
Assíntotas: não se aplicam.
Excentricidade: não definida.
Ponto de interseção: .
Gráfico: duas retas cruzadas em e
passando pela origem.
Equação fatorada:
Centro:
Vértices: não existem.
Focos: não existem.
Retas diretrizes: não se aplicam.
Assíntotas: não se aplicam.
Excentricidade: não definida.
Ponto de interseção:
Gráfico: duas retas cruzadas em