Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
x^{2}-y^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede a classificação da cônica dada por
x^{2}-y^{2}=0,
além de determinar, quando possível, sua equação (na forma canônica ou fatorada), o centro, os vértices, os focos, as retas diretrizes, as assíntotas, a excentricidade e os pontos de interseção, e por fim esboçar o gráfico.

Passo 2

Escrevemos a equação como produto de fatores lineares:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=0.
Logo a “cônica” é, na verdade, a união das duas retas
y = x \quad\text{e}\quad y = -\,x.
Como vem de uma forma x^{2}-y^{2}=\text{constante} com constante zero, trata-se de uma hipérbole degenerada (duas retas).

Passo 3

Centro: ponto de interseção das retas y=x e y=-x, que é
(0,0).
Vértices: não há ramos nem vértices, pois é degenerada.
Focos e retas diretrizes: não se definem para esta degeneração.
Assíntotas: também não se definem, pois as próprias retas são a “cônica”.
Excentricidade: não está definida no caso degenerado.

Passo 4

Pontos de interseção com os eixos coordenados:
– Em y-eixo ( x=0): de x^{2}-y^{2}=0 vem y=0.
– Em x-eixo ( y=0): de x^{2}-0=0 vem x=0.
Há apenas o ponto (0,0), que é o único ponto comum às duas retas.

Passo 5

Esboço do gráfico: duas retas passando pela origem, formando um “X” de inclinação 45^\circ e -45^\circ.

Resposta

Classificação: hipérbole degenerada (duas retas).
Equação fatorada: (x - y)(x + y) = 0, i.e., y = \pm x.
Centro: (0,0).
Vértices: não existem.
Focos: não existem.
Retas diretrizes: não se aplicam.
Assíntotas: não se aplicam.
Excentricidade: não definida.
Ponto de interseção: (0,0).
Gráfico: duas retas cruzadas em 45^\circ e -45^\circ passando pela origem.

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