Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
x^{2}-4 x+y^{2}-4 y+4=0

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
x^{2}-4x + y^{2}-4y + 4 = 0
e pede (1) classificar a cônica, (2) escrever sua forma canônica, (3) determinar centro, vértices, focos, reta(s) diretriz, assintotas, excentricidade, pontos de interseção com os eixos e (4) esboçar o gráfico.

Passo 2

Vamos completar quadrados em x e em y.
x^{2}-4x = (x-2)^{2} - 4, \quad y^{2}-4y = (y-2)^{2} - 4.
Substituindo na equação original:
(x-2)^{2} - 4 \;+\;(y-2)^{2} - 4 \;+\; 4 \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)^{2} + (y-2)^{2} = 4.

Passo 3

A forma
(x-2)^{2} + (y-2)^{2} = 2^{2}
é a equação de um círculo de centro
C = (2,2)
e raio
r = 2.

Passo 4

Podemos ver esse círculo como uma “elipse” com a=b=2. Assim, os “vértices” nos quatro pontos cardeais são
(2\pm 2,\;2)\;=\;(4,2)\text{ e }(0,2), \quad (2,\;2\pm 2)\;=\;(2,4)\text{ e }(2,0).

Passo 5

Para um círculo temos
Focos: coincidem com o centro, ou seja, ambos em (2,2).
Excentricidade:
e = 0.
Retas diretrizes: não se definem para círculo (apenas para elipses/hipérboles com e>0).

Passo 6

Assintotas: não existem em círculos.
Interseções com os eixos:
  1. Eixo x: y=0 em (x-2)^{2}+(0-2)^{2}=4 \implies( x-2)^{2}=0 \implies x=2. Ponto (2,0).
  2. Eixo y: x=0 em (0-2)^{2}+(y-2)^{2}=4 \implies( y-2)^{2}=0 \implies y=2. Ponto (0,2).

Passo 7

Esboço: é um círculo de centro em (2,2) e raio 2. Marca-se o centro, os quatro vértices (4,2),(0,2),(2,4),(2,0) e traça-se a circunferência passando por esses pontos.

Resposta

Equação canônica:
(x-2)^{2} + (y-2)^{2} = 4.
Centro C=(2,2). Raio r=2.
Vértices (4,2),(0,2),(2,4),(2,0).
Focos em (2,2), excentricidade e=0.
Não há retas diretriz nem assintotas.
Interseções com eixos: (2,0) e (0,2).
Gráfico: círculo de raio 2 centrado em (2,2).

Exercícios relacionados