Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
e pede (1) classificar a cônica, (2) escrever sua forma canônica, (3) determinar centro, vértices, focos, reta(s) diretriz, assintotas, excentricidade, pontos de interseção com os eixos e (4) esboçar o gráfico.
Passo 2
Vamos completar quadrados em
e em
.
Substituindo na equação original:
Passo 3
A forma
é a equação de um círculo de centro
e raio
Passo 4
Podemos ver esse círculo como uma “elipse” com
. Assim, os “vértices” nos quatro pontos cardeais são
Passo 5
Para um círculo temos
– Focos: coincidem com o centro, ou seja, ambos em .
– Excentricidade:
– Focos: coincidem com o centro, ou seja, ambos em
– Excentricidade:
– Retas diretrizes: não se definem para círculo (apenas para elipses/hipérboles com
).
Passo 6
– Assintotas: não existem em círculos.
– Interseções com os eixos:
– Interseções com os eixos:
- Eixo
: em ( . Ponto . - Eixo
: em ( . Ponto .
Passo 7
Esboço: é um círculo de centro em
e raio
. Marca-se o centro, os quatro vértices
e traça-se a circunferência passando por esses pontos.
Resposta
Equação canônica:
Centro
. Raio
.
Vértices .
Focos em , excentricidade
.
Não há retas diretriz nem assintotas.
Interseções com eixos: e
.
Gráfico: círculo de raio centrado em
.
Vértices
Focos em
Não há retas diretriz nem assintotas.
Interseções com eixos:
Gráfico: círculo de raio