Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos a cônica dada por
e, quando possível, determinar sua equação reduzida, centro, vértices, focos, retas diretriz, assintotas, excentricidade e ponto(s) de interseção. O conteúdo é “conica degenerada e fatoração de forma quadrática”. Precisamos identificar se é elipse, parábola, hipérbole ou se degenera em retas.
Passo 2
Escrevemos os coeficientes da forma geral
aqui
,
,
,
. Calculamos o discriminante
portanto seria uma hipérbole em princípio. Como
, testa-se também a degeneração avaliando se a forma quadrática pode ser fatorada em duas retas.
Passo 3
Fatoramos
Logo a “cônica” é, na verdade, o par de retas
Elas se cruzam em
, que é o único ponto da curva.
Resposta
Classificação: hipérbole degenerada (par de retas).
Equações das retas:
Equações das retas:
Centro (ponto de interseção):
.
Não há vértices, focos, diretriz, assintotas nem excentricidade definíveis além dessas retas.
Esboço: duas retas que se cruzam em , de inclinação
e
.
Não há vértices, focos, diretriz, assintotas nem excentricidade definíveis além dessas retas.
Esboço: duas retas que se cruzam em