Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
x^{2}+2 x y-3 y^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a cônica dada por
x^{2} + 2xy - 3y^{2} = 0
e, quando possível, determinar sua equação reduzida, centro, vértices, focos, retas diretriz, assintotas, excentricidade e ponto(s) de interseção. O conteúdo é “conica degenerada e fatoração de forma quadrática”. Precisamos identificar se é elipse, parábola, hipérbole ou se degenera em retas.

Passo 2

Escrevemos os coeficientes da forma geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
aqui A = 1, B = 2, C = -3, D=E=F=0. Calculamos o discriminante
\Delta = B^2 - 4AC = 2^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = 4 + 12 = 16 > 0,
portanto seria uma hipérbole em princípio. Como D=E=F=0, testa-se também a degeneração avaliando se a forma quadrática pode ser fatorada em duas retas.

Passo 3

Fatoramos
x^{2} + 2xy - 3y^{2} = (x + 3y)(x - y).
Logo a “cônica” é, na verdade, o par de retas
x + 3y = 0 \quad\text{e}\quad x - y = 0.
Elas se cruzam em (0,0), que é o único ponto da curva.

Resposta

Classificação: hipérbole degenerada (par de retas).
Equações das retas:
x + 3y = 0, \quad x - y = 0.
Centro (ponto de interseção): (0,0).
Não há vértices, focos, diretriz, assintotas nem excentricidade definíveis além dessas retas.
Esboço: duas retas que se cruzam em (0,0), de inclinação -\tfrac{1}{3} e 1.

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