Exercício 1. Considere o plano pi de equação 2 x+y-3 z=0.
(c) Determine uma base ortonormal U1, U2 de pi. Complete esta base para uma base ortonormal U1, U2, U3 de R^3.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal U1,U2 do plano
pi:;2x+y-3z=0,
que é o subespaço de R^3 ortogonal ao vetor normal n=(2,1,-3). Depois devemos completar U1,U2 com um vetor U3 para obter uma base ortonormal de R^3. Usaremos o fato de que, se U3 é o versor em direção a n, então qualquer vetor perpendicular a U3 está em pi, e podemos obter U2 como produto vetorial de U3 por um candidato a U1.

Passo 2

Calculamos o versor normal
|n|=raiz2^2+1^2+(-3)^2=raiz14,
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U3=n|n| =1raiz14,(2,1,-3)

Passo 3

Escolhemos um vetor v ortogonal a n. Por exemplo,
v=(1,-2,0),
pois
ncdotv =2cdot1+1cdot(-2)+(-3)cdot0 =0
Normalizando v obtemos
|v|=raiz1^2+(-2)^2+0^2=raiz5,
U1=v|v| =1raiz5,(1,-2,0)

Passo 4

Agora definimos
U2=U3times U1
Calculando o produto vetorial em coordenadas (antes de normalizar)
(2,1,-3)times(1,-2,0) =(-6,,-3,,-5),
e incluindo os fatores de normalização de U3 e U1 vemos que
U2 =1raiz14,raiz5;(-6,-3,-5) =1raiz70;(-6,-3,-5)
Por construção U1,U2,U3 é uma base ortonormal de R^3 e U1,U2 é ortonormal em pi.

Resposta

U1=1raiz5,(1,,-2,,0), U2=1raiz70;(-6,,-3,,-5),
são uma base ortonormal de pi, e completamos para uma base ortonormal de R^3 com
U3=1raiz14,(2,,1,,-3)

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