Exercício 4 Para cada uma das matrizes abaixo obtenha uma base para o núcleo, uma para o espaço linha e uma para o espaço coluna.
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\\\ 2 & 1 & 4 \\\\ 4 & 7 & 8 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc} -3 & 1 & 3 & 4 \\\\ 1 & 2 & -1 & -2 \\\\ -3 & 8 & 4 & 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc} 1 & 3 & -2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 4 & 5 & 6 \end{array}\right],\left[\begin{array}{lllll} 1 & 3 & 1 & 3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 & 3 & 3 \end{array}\right] .

Passo 1

Temos quatro matrizes e, para cada uma, vamos calcular três coisas:
  • Uma base do núcleo (soluções de Ax=0).
  • Uma base do espaço linha (gerado pelas linhas independentes).
  • Uma base do espaço coluna (gerado pelas colunas independentes).
    O método geral é usar eliminação de Gauss para achar a forma escalonada reduzida, identificar variáveis livres para o núcleo e pivôs para linha e coluna.

Passo 2

Considere A_1=\displaystyle\begin{pmatrix}1&3&2\\\ 2&1&4\\\ 4&7&8\end{pmatrix}\). Aplicando eliminação de Gauss obtemos a forma escalonada reduzida \(\displaystyle\begin{pmatrix}1&0&2\\\ 0&1&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix}\). Como há pivôs em colunas 1 e 2, \(x_3\) é livre. Das equações \[\begin{cases} x_1+2x_3=0,\\\ x_2=0, \end{cases}
segue x_3=t\], \(x_1=-2t, x_2=0.
  • Núcleo: base \{(-2,0,1)\}.
  • Espaço linha: linhas não nulas da forma reduzida dão base \{(1,0,2),\,(0,1,0)\}.
  • Espaço coluna: colunas 1 e 2 originais são independentes, base \{(1,2,4),\,(3,1,7)\}.

Passo 3

Considere A_2=\displaystyle\begin{pmatrix}-3&1&3&4\\\ 1&2&-1&-2\\\ -3&8&4&2\end{pmatrix}\). Trocando linhas e eliminando, chega-se à forma reduzida \(\displaystyle\begin{pmatrix}1&0&-1&-\tfrac{10}{7}\\\ 0&1&0&-\tfrac{2}{7}\\\ 0&0&1&0\end{pmatrix}\). Pivôs em colunas 1,2,3 e \(x_4\) livre. Das equações \[\begin{cases} x_1 - x_3 - \tfrac{10}{7}x_4=0,\\\ x_2 - \tfrac{2}{7}x_4=0,\\\ x_3=0, \end{cases}
segue x_4=t\], \(x_3=0, x_2=\tfrac{2}{7}t, x_1=\tfrac{10}{7}t.
  • Núcleo: tomando t=7 para evitar frações, base \{(10,2,0,7)\}.
  • Espaço linha: base \{(1,0,-1,-\tfrac{10}{7}),\,(0,1,0,-\tfrac{2}{7}),\,(0,0,1,0)\}.
  • Espaço coluna: colunas originais 1,2,3 são independentes, base \{(-3,1,-3),\,(1,2,8),\,(3,-1,4)\}.

Passo 4

Considere A_3=\displaystyle\begin{pmatrix}1&3&-2&1\\\ 2&1&3&2\\\ 0&4&5&6\end{pmatrix}\). Eliminando e reduzindo, achamos \(\displaystyle\begin{pmatrix}1&0&0&-\tfrac{13}{53}\\\ 0&1&0&\tfrac{42}{53}\\\ 0&0&1&\tfrac{30}{53}\end{pmatrix}\). Pivôs nas colunas 1,2,3 e \(x_4\) livre. Das equações \[\begin{cases} x_1-\tfrac{13}{53}x_4=0,\\\ x_2+\tfrac{42}{53}x_4=0,\\\ x_3+\tfrac{30}{53}x_4=0, \end{cases}
segue x_4=t\], \(x_1=\tfrac{13}{53}t, x_2=-\tfrac{42}{53}t, x_3=-\tfrac{30}{53}t.
  • Núcleo: tomando t=53, base \{(13,-42,-30,53)\}.
  • Espaço linha: base \{(1,0,0,-\tfrac{13}{53}),\,(0,1,0,\tfrac{42}{53}),\,(0,0,1,\tfrac{30}{53})\}.
  • Espaço coluna: colunas 1,2,3 originais, base \{(1,2,0),\,(3,1,4),\,(-2,3,5)\}.

Passo 5

Considere \displaystyle A_4=\begin{pmatrix} 1&3&1&3&4\\\\ 0&0&1&1&1\\\\ 0&0&2&2&2\\\\ 0&0&3&3&3 \end{pmatrix}.\) Eliminando, vemos que sobra apenas duas linhas independentes e a forma reduzida é \(\displaystyle\begin{pmatrix} 1&3&0&2&3\\\\ 0&0&1&1&1\\\\ 0&0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}.\) Pivôs em colunas 1 e 3, variáveis livres \(x_2,x_4,x_5\). Das equações \[\begin{cases} x_1+3x_2+2x_4+3x_5=0,\\\ x_3+x_4+x_5=0, \end{cases}
segue, com s=x_2\], \(t=x_4, u=x_5,
(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) =(-3s-2t-3u,\;s,\;-t-u,\;t,\;u).
  • Núcleo: base \{(-3,1,0,0,0),\,(-2,0,-1,1,0),\,(-3,0,-1,0,1)\}.
  • Espaço linha: base \{(1,3,0,2,3),\,(0,0,1,1,1)\}.
  • Espaço coluna: colunas 1 e 3 originais, base \{(1,0,0,0),\,(1,1,2,3)\}.

Resposta

Para cada matriz A_i temos: A_1:
  • Núcleo: \{(-2,0,1)\}
  • Espaço linha: \{(1,0,2),\,(0,1,0)\}
  • Espaço coluna: \{(1,2,4),\,(3,1,7)\} A_2:
  • Núcleo: \{(10,2,0,7)\}
  • Espaço linha: \{(1,0,-1,-\tfrac{10}{7}),\,(0,1,0,-\tfrac{2}{7}),\,(0,0,1,0)\}
  • Espaço coluna: \{(-3,1,-3),\,(1,2,8),\,(3,-1,4)\} A_3:
  • Núcleo: \{(13,-42,-30,53)\}
  • Espaço linha: \{(1,0,0,-\tfrac{13}{53}),\,(0,1,0,\tfrac{42}{53}),\,(0,0,1,\tfrac{30}{53})\}
  • Espaço coluna: \{(1,2,0),\,(3,1,4),\,(-2,3,5)\} A_4:
  • Núcleo: \{(-3,1,0,0,0),\,(-2,0,-1,1,0),\,(-3,0,-1,0,1)\}
  • Espaço linha: \{(1,3,0,2,3),\,(0,0,1,1,1)\}
  • Espaço coluna: \{(1,0,0,0),\,(1,1,2,3)\}

Exercícios relacionados