Temos quatro matrizes e, para cada uma, vamos calcular três coisas:
Uma base do núcleo (soluções de Ax=0).
Uma base do espaço linha (gerado pelas linhas independentes).
Uma base do espaço coluna (gerado pelas colunas independentes).
O método geral é usar eliminação de Gauss para achar a forma escalonada reduzida, identificar variáveis livres para o núcleo e pivôs para linha e coluna.
Passo 2
Considere A_1=\displaystyle\begin{pmatrix}1&3&2\\\ 2&1&4\\\ 4&7&8\end{pmatrix}\).
Aplicando eliminação de Gauss obtemos a forma escalonada reduzida \(\displaystyle\begin{pmatrix}1&0&2\\\ 0&1&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix}\).
Como há pivôs em colunas 1 e 2, \(x_3\) é livre. Das equações
\[\begin{cases} x_1+2x_3=0,\\\ x_2=0, \end{cases}
segue x_3=t\], \(x_1=-2t, x_2=0.
Núcleo: base \{(-2,0,1)\}.
Espaço linha: linhas não nulas da forma reduzida dão base \{(1,0,2),\,(0,1,0)\}.
Espaço coluna: colunas 1 e 2 originais são independentes, base \{(1,2,4),\,(3,1,7)\}.
Passo 3
Considere A_2=\displaystyle\begin{pmatrix}-3&1&3&4\\\ 1&2&-1&-2\\\ -3&8&4&2\end{pmatrix}\).
Trocando linhas e eliminando, chega-se à forma reduzida \(\displaystyle\begin{pmatrix}1&0&-1&-\tfrac{10}{7}\\\ 0&1&0&-\tfrac{2}{7}\\\ 0&0&1&0\end{pmatrix}\).
Pivôs em colunas 1,2,3 e \(x_4\) livre. Das equações
\[\begin{cases} x_1 - x_3 - \tfrac{10}{7}x_4=0,\\\ x_2 - \tfrac{2}{7}x_4=0,\\\ x_3=0, \end{cases}
Espaço linha: base \{(1,0,0,-\tfrac{13}{53}),\,(0,1,0,\tfrac{42}{53}),\,(0,0,1,\tfrac{30}{53})\}.
Espaço coluna: colunas 1,2,3 originais, base \{(1,2,0),\,(3,1,4),\,(-2,3,5)\}.
Passo 5
Considere \displaystyle A_4=\begin{pmatrix}
1&3&1&3&4\\\\ 0&0&1&1&1\\\\ 0&0&2&2&2\\\\ 0&0&3&3&3
\end{pmatrix}.\)
Eliminando, vemos que sobra apenas duas linhas independentes e a forma reduzida é \(\displaystyle\begin{pmatrix}
1&3&0&2&3\\\\ 0&0&1&1&1\\\\ 0&0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0&0
\end{pmatrix}.\)
Pivôs em colunas 1 e 3, variáveis livres \(x_2,x_4,x_5\). Das equações
\[\begin{cases} x_1+3x_2+2x_4+3x_5=0,\\\ x_3+x_4+x_5=0, \end{cases}