O elemento na posição (1,2) dá \alpha=0, na posição (2,1) dá \beta=0 e na posição (2,2) dá \gamma=0. Logo só há solução trivial, e A é LI. Como são 3 vetores em espaço de dimensão 3, A é base.
Passo 5
Agora fazemos o mesmo para B. Seja \displaystyle M=\begin{pmatrix}x&y\z&t\end{pmatrix}\in W com x=y+z. Queremos coeficientes \lambda,\mu,\nu tais que
Comparando, \lambda = y+z, -\mu = y\Rightarrow\mu=-y, \lambda+\mu = z (verifica) e \nu=t. Logo B gera W.
Para independência, suponha \alpha b_{1}+\beta b_{2}+\gamma b_{3}=0.
O (1,1) dá \alpha=0, o (1,2) dá \beta=0, e o (2,2) dá \gamma=0. Logo é LI. Como são 3 vetores, B é base.
Passo 6
Para obter \bigl[S\bigr]_{A\to B}, note que S é a aplicação identidade em W. Temos de escrever cada vetor de A em coordenadas da base B.
a_{1}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix}. Buscamos (c_{1},c_{2},c_{3}) tal que
Isto dá c_{1}=1, -c_{2}=1\Rightarrow c_{2}=-1, c_{1}+c_{2}=0 ok, c_{3}=0.
2) a_{2}=b_{1} já é o primeiro vetor de B, então suas coordenadas são (1,0,0).
3) a_{3}=b_{3}, coordenadas (0,0,1).