Exercício 9 Considere o seguinte subespaço de \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) :
W=\left\{\left[\begin{array}{ll} x & y \\\ z & t \end{array}\right] ; x-y-z=0\right\}
(a) Mostre que os conjuntos
A=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\}
e
B=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\}
são bases de W.
(b) Obtenha [S]_{A \rightarrow B} e [S]_{B \rightarrow A}.

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
W=\Bigl\{\begin{pmatrix}x & y\\\ z & t\end{pmatrix}\in\mathbb M_{2}(\mathbb R)\Bigm|x - y - z = 0\Bigr\}
e os conjuntos
A=\Bigl\{\;a_{1}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\;a_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\;a_{3}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\Bigr\}
B=\Bigl\{\;b_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\;b_{2}=\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix},\;b_{3}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\Bigr\}.
Precisamos (a) mostrar que A e B são bases de W e (b) encontrar as matrizes de mudança de base de A para B e de B para A.

Passo 2

Primeiro, note que \mathbb M_{2}(\mathbb R) tem dimensão 4 e a condição x - y - z=0 impõe uma única restrição linear, logo
\dim W = 4 - 1 = 3.
Portanto qualquer conjunto de 3 vetores em W que seja linearmente independente já forma uma base de W.

Passo 3

Mostramos que A gera W. Seja
M=\begin{pmatrix}x&y\z&t\end{pmatrix}\in W,
então x - y - z=0 implica x=y+z. Assim
M=\begin{pmatrix}y+z & y\\\ z & t\end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix} = y\,a_{1} + z\,a_{2} + t\,a_{3}.
Como y,z,t são arbitrários, A gera W.

Passo 4

Mostramos que A é linearmente independente. Suponha
\alpha\,a_{1} + \beta\,a_{2} + \gamma\,a_{3} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
O elemento na posição (1,2) \alpha=0, na posição (2,1) \beta=0 e na posição (2,2) \gamma=0. Logo só há solução trivial, e A é LI. Como são 3 vetores em espaço de dimensão 3, A é base.

Passo 5

Agora fazemos o mesmo para B. Seja \displaystyle M=\begin{pmatrix}x&y\z&t\end{pmatrix}\in W com x=y+z. Queremos coeficientes \lambda,\mu,\nu tais que
M = \lambda\,b_{1} + \mu\,b_{2} + \nu\,b_{3} = \lambda\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix} +\mu\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix} +\nu\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Somando dá
\begin{pmatrix}\lambda & -\mu\\\ \lambda+\mu & \nu\end{pmatrix} \stackrel!= \begin{pmatrix}y+z & y\\\ z & t\end{pmatrix}.
Comparando, \lambda = y+z, -\mu = y\Rightarrow\mu=-y, \lambda+\mu = z (verifica) e \nu=t. Logo B gera W.
Para independência, suponha \alpha b_{1}+\beta b_{2}+\gamma b_{3}=0.
O (1,1) \alpha=0, o (1,2) \beta=0, e o (2,2) \gamma=0. Logo é LI. Como são 3 vetores, B é base.

Passo 6

Para obter \bigl[S\bigr]_{A\to B}, note que S é a aplicação identidade em W. Temos de escrever cada vetor de A em coordenadas da base B.
  1. a_{1}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix}. Buscamos (c_{1},c_{2},c_{3}) tal que
c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+c_{3}b_{3} = \begin{pmatrix}c_{1}&-c_{2}\c_{1}+c_{2}&c_{3}\end{pmatrix} \;=\;\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Isto dá c_{1}=1, -c_{2}=1\Rightarrow c_{2}=-1, c_{1}+c_{2}=0 ok, c_{3}=0.
2) a_{2}=b_{1} já é o primeiro vetor de B, então suas coordenadas são (1,0,0).
3) a_{3}=b_{3}, coordenadas (0,0,1).
Assim
\bigl[S\bigr]_{A\to B} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ -1& 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
onde a coluna j é coordenada de a_{j} em B.

Passo 7

Para \bigl[S\bigr]_{B\to A}, escrevemos cada b_{j} em A.
  1. b_{1}=a_{2} (0,1,0).
  2. b_{2}=\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix}. Buscamos (d_{1},d_{2},d_{3}) tal que
d_{1}a_{1}+d_{2}a_{2}+d_{3}a_{3} =\begin{pmatrix}d_{1}+d_{2}&d_{1}\d_{2}&d_{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Isto dá d_{1}+d_{2}=0, d_{1}=-1\Rightarrow d_{2}=1, d_{3}=0.
3) b_{3}=a_{3} (0,0,1).
Logo
\bigl[S\bigr]_{B\to A} =\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
coluna j = coordenada de b_{j} em A.

Resposta

\bigl[S\bigr]_{A\to B} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ -1& 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \bigl[S\bigr]_{B\to A} =\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados