Exercício 8 Considere em \mathbb{P}^{2}(\mathbb{R}) as bases A=\left\{1,1+x, 1+x^{2}\right\} \quad e \quad B=\left\{1, x, x^{2}\right\} Obtenha [S]_{A \rightarrow B} e [S]_{B \rightarrow A}. Passo 1O enunciado trabalha em \mathbb{P}^2(\mathbb{R}) com as bases A=\{\,1,\;1+x,\;1+x^2\},\quad B=\{\,1,\;x,\;x^2\} e pede as matrizes de mudança de base do operador identidade S\colon \mathbb{P}^2(\mathbb{R})\to\mathbb{P}^2(\mathbb{R}),\quad S(p)=p, isto é, [S]_{A\to B} transforma coordenadas em A em coordenadas em B, e [S]_{B\to A} faz o inverso. Passo 2Para obter [S]_{A\to B}, escrevemos cada vetor de A em coordenadas da base B. Sejam v_1=1,\quad v_2=1+x,\quad v_3=1+x^2. Como B=\{1,x,x^2\}, procuramos \alpha_i,\beta_i,\gamma_i tais que v_i = \alpha_i\cdot1 + \beta_i\cdot x + \gamma_i\cdot x^2. Para v_1=1 vem \alpha_1=1, \beta_1=0, \gamma_1=0. Para v_2=1+x vem \alpha_2=1, \beta_2=1, \gamma_2=0. Para v_3=1+x^2 vem \alpha_3=1, \beta_3=0, \gamma_3=1. Passo 3As colunas de [S]_{A\to B} são esses vetores de coordenadas em B. Assim, [S]_{A\to B} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Passo 4Para obter [S]_{B\to A}, escrevemos cada vetor de B em coordenadas da base A. Sejam w_1=1,\quad w_2=x,\quad w_3=x^2, e procuramos a_i,b_i,c_i tais que w_i = a_i\cdot1 + b_i\cdot(1+x) + c_i\cdot(1+x^2). Igualando termos de 1,x,x^2: – Para w_1=1 obtemos (a_1,b_1,c_1)=(1,0,0). – Para w_2=x obtemos (a_2,b_2,c_2)=(-1,1,0). – Para w_3=x^2 obtemos (a_3,b_3,c_3)=(-1,0,1). Passo 5As colunas de [S]_{B\to A} são esses vetores de coordenadas em A. Assim, [S]_{B\to A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Resposta [S]_{A\to B} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad [S]_{B\to A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosExercício 4 Para cada uma das matrizes abaixo obtenha uma base para o núcleo, uma para o espaço linha e uma para o espaço coluna. \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\\\ 2 & 1 & 4 \\\\ 4 & 7 & 8 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc} -3 & 1 & 3 & 4 \\\\ 1 & 2 & -1 & -2 \\\\ -3 & 8 & 4 & 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc} 1 & 3 & -2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 4 & 5 & 6 \end{array}\right],\left[\begin{array}{lllll} 1 & 3 & 1 & 3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 & 3 & 3 \end{array}\right] . Exercício 3 O núcleo de uma matriz A_{m n} \in \mathbb{M}_{m n}(\mathbb{R}) é o conjunto N(A)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} ; A x=0\right\} . (a) Mostre que N(A) é subespaço de \mathbb{R}^{n}. (b) Mostre que se os vetores colunas de A são L.I., então N(A)=\{0\}. (c) Determine o núcleo da matriz A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right] Exercício 9 Considere o seguinte subespaço de \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) : W=\left\{\left[\begin{array}{ll} x & y \\\ z & t \end{array}\right] ; x-y-z=0\right\} (a) Mostre que os conjuntos A=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\} e B=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\} são bases de W. (b) Obtenha [S]_{A \rightarrow B} e [S]_{B \rightarrow A}. Exercício 9 Considere o seguinte subespaço de \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) : W=\left\{\left[\begin{array}{ll} x & y \\\ z & t \end{array}\right] ; x-y-z=0\right\} (a) Mostre que os conjuntos A=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\} e B=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\} são bases de W. (b) Obtenha [S]_{A \rightarrow B} e [S]_{B \rightarrow A}.