Exercício 8 Considere em \mathbb{P}^{2}(\mathbb{R}) as bases
A=\left\{1,1+x, 1+x^{2}\right\} \quad e \quad B=\left\{1, x, x^{2}\right\}
Obtenha [S]_{A \rightarrow B} e [S]_{B \rightarrow A}.

Passo 1

O enunciado trabalha em \mathbb{P}^2(\mathbb{R}) com as bases
A=\{\,1,\;1+x,\;1+x^2\},\quad B=\{\,1,\;x,\;x^2\}
e pede as matrizes de mudança de base do operador identidade
S\colon \mathbb{P}^2(\mathbb{R})\to\mathbb{P}^2(\mathbb{R}),\quad S(p)=p,
isto é, [S]_{A\to B} transforma coordenadas em A em coordenadas em B, e [S]_{B\to A} faz o inverso.

Passo 2

Para obter [S]_{A\to B}, escrevemos cada vetor de A em coordenadas da base B. Sejam
v_1=1,\quad v_2=1+x,\quad v_3=1+x^2.
Como B=\{1,x,x^2\}, procuramos \alpha_i,\beta_i,\gamma_i tais que
v_i = \alpha_i\cdot1 + \beta_i\cdot x + \gamma_i\cdot x^2.
Para v_1=1 vem \alpha_1=1, \beta_1=0, \gamma_1=0.
Para v_2=1+x vem \alpha_2=1, \beta_2=1, \gamma_2=0.
Para v_3=1+x^2 vem \alpha_3=1, \beta_3=0, \gamma_3=1.

Passo 3

As colunas de [S]_{A\to B} são esses vetores de coordenadas em B. Assim,
[S]_{A\to B} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para obter [S]_{B\to A}, escrevemos cada vetor de B em coordenadas da base A. Sejam
w_1=1,\quad w_2=x,\quad w_3=x^2,
e procuramos a_i,b_i,c_i tais que
w_i = a_i\cdot1 + b_i\cdot(1+x) + c_i\cdot(1+x^2).
Igualando termos de 1,x,x^2:
– Para w_1=1 obtemos (a_1,b_1,c_1)=(1,0,0).
– Para w_2=x obtemos (a_2,b_2,c_2)=(-1,1,0).
– Para w_3=x^2 obtemos (a_3,b_3,c_3)=(-1,0,1).

Passo 5

As colunas de [S]_{B\to A} são esses vetores de coordenadas em A. Assim,
[S]_{B\to A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

[S]_{A\to B} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad [S]_{B\to A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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