Uma loja de plantas vende um certo tipo de arbusto depois de criá-los durante 5 anos. A taxa de crescimento do arbusto durante 5 anos pode ser modelada pela função dhdt=17,6 traiz17,6 t^2+1, onde t é o tempo em anos e h é a altura em centímetros. As mudas têm 6 centímetros de altura quando são plantadas (t=0).
Determine a função altura?

Passo 1

O problema nos dá a taxa de crescimento do arbusto ao longo do tempo t (em anos) como uma equação diferencial dhdt=17.6,traiz17.6,t^2+1 e a condição inicial h(0)=6 cm. O conteúdo aqui é resolver uma equação diferencial simples por integração.

Passo 2

Para encontrar a função h(t), basta integrar ambos os lados em relação a t:
h(t)=integral 17.6,traiz17.6,t^2+1,dt + C

Passo 3

Fazemos a substituição
u=17.6,t^2+1, du=35.2,t,dt Rightarrow t,dt=du35.2
Assim, o numerador 17.6,t,dt vira tfrac17.635.2,du=tfrac12,du e o denominador é raizu.

Passo 4

A integral fica
h(t)=integral 1/2raizu,du + C =12cdot 2,u^1/2 + C =raizu+C =raiz17.6,t^2+1+C

Passo 5

Usando a condição inicial h(0)=6, temos raiz1+C=6 então C=5. Portanto a altura é dada por
h(t) = raiz17.6,t^2+1+5

Passo 6

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Resposta

h(t)=raiz17.6,t^2+1+5

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