Exercício 4 Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
em
, e pede para verificar se
é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial
tal que
. Vamos usar cálculo de rotacional e integração sucessiva.
Passo 2
Calculamos o rotacional
. As suas componentes são
Portanto
em
, que é simplesmente conexo, logo
é conservativo.
Passo 3
Para encontrar
, impomos
Integramos em
:
Passo 4
Impondo
segue
Integramos em
:
Então
Passo 5
Finalmente, impomos
logo
Resposta
Um potencial de
é, desprezando constante,
Portanto
é conservativo em
.