Exercício 4 Por cada um dos seguintes campos vetoriais \mathbf{F}, determine se \mathbf{F} é conservativo. Se sim, calcule um potencial de \mathbf{F}.
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(y \sin z, x \sin z+2 y z^{2} e^{y^{2}}, x y \cos z+2 z e^{y^{2}}+\frac{2 z}{z^{2}+1}\right) e m \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(P,Q,R\bigr) =\bigl(y\sin z,\;x\sin z+2y z^{2}e^{y^{2}},\;x y\cos z+2z e^{y^{2}}+{\tfrac{2z}{z^{2}+1}}\bigr)
em \mathbb{R}^3, e pede para verificar se \mathbf{F} é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Vamos usar cálculo de rotacional e integração sucessiva.

Passo 2

Calculamos o rotacional \nabla\times\mathbf{F}. As suas componentes são
(\nabla\times\mathbf{F})_1 =\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} =x\cos z+4yze^{y^{2}}-\bigl(x\cos z+4yze^{y^{2}}\bigr)=0,
(\nabla\times\mathbf{F})_2 =\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} =y\cos z-\bigl(y\cos z\bigr)=0,
(\nabla\times\mathbf{F})_3 =\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\sin z-\sin z=0.
Portanto \nabla\times\mathbf{F}=0 em \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo, logo \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Para encontrar \varphi, impomos
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P=y\sin z.
Integramos em x:
\varphi(x,y,z)=\int y\sin z\,dx = x\,y\sin z + h(y,z).

Passo 4

Impondo
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x\sin z + \frac{\partial h}{\partial y} =Q = x\sin z + 2y\,z^{2}e^{y^{2}},
segue
\frac{\partial h}{\partial y}=2y\,z^{2}e^{y^{2}}.
Integramos em y:
h(y,z)=\int 2y\,z^{2}e^{y^{2}}\,dy =z^{2}e^{y^{2}} + k(z).
Então
\varphi(x,y,z)=x\,y\sin z + z^{2}e^{y^{2}} + k(z).

Passo 5

Finalmente, impomos
\frac{\partial \varphi}{\partial z} = x\,y\cos z + 2z\,e^{y^{2}} + k'(z) =R = x\,y\cos z + 2z\,e^{y^{2}} + \frac{2z}{z^{2}+1},
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k'(z)=\frac{2z}{z^{2}+1} \quad\Longrightarrow\quad k(z)=\ln\bigl(z^{2}+1\bigr)+C.

Resposta

Um potencial de \mathbf{F} é, desprezando constante,
\boxed{ \varphi(x,y,z) = x\,y\sin z \;+\; z^{2}e^{y^{2}} \;+\;\ln\bigl(z^{2}+1\bigr). }
Portanto \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^3.

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