Exercício 5 Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
\int_{C} y e^{x y} d x+x e^{x y} d y onde C é a curva plana dada por \sigma(t)=\left(2 t, 3 t^{2}\right), 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}y\,e^{x y}\,dx + x\,e^{x y}\,dy
ao longo da curva \sigma(t)=(2t,3t^{2}), 0\le t\le1.
O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha: se um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) é conservativo (isto é, existe f tal que \nabla f=\mathbf{F}), então
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f\bigl(\text{ponto final}\bigr)-f\bigl(\text{ponto inicial}\bigr).

Passo 2

Identificamos P(x,y)=y\,e^{xy} e Q(x,y)=x\,e^{xy}. Primeiro verificamos que o campo é conservativo, conferindo
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^{xy}\bigr) =e^{xy}+xy\,e^{xy} \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{xy}\bigr) =e^{xy}+xy\,e^{xy}.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, existe potencial f tal que \nabla f=(P,Q).

Passo 3

Para achar f(x,y), integramos
\frac{\partial f}{\partial x}=y\,e^{xy}
em relação a x, tratando y como constante:
f(x,y)=\int y\,e^{xy}\,dx =e^{xy}+g(y).
Então
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}+g(y)\bigr) =x\,e^{xy}+g'(y)
deve igualar Q(x,y)=x\,e^{xy}, o que dá g'(y)=0. Logo podemos tomar
f(x,y)=e^{xy}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para line integrals,
\int_{C}y\,e^{xy}\,dx + x\,e^{xy}\,dy =f\bigl(\sigma(1)\bigr)-f\bigl(\sigma(0)\bigr).
Aqui \sigma(1)=(2,3) e \sigma(0)=(0,0), logo
f(2,3)=e^{2\cdot3}=e^{6}, \quad f(0,0)=e^{0}=1.

Resposta

e^{6}-1

Exercícios relacionados