Exercício 5 Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
onde
é a curva plana dada por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva
,
.
O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha: se um campo vetorial é conservativo (isto é, existe
tal que
), então
O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha: se um campo vetorial
Passo 2
Identificamos
e
. Primeiro verificamos que o campo é conservativo, conferindo
Como
, existe potencial
tal que
.
Passo 3
Para achar
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Então
deve igualar
, o que dá
. Logo podemos tomar
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para line integrals,
Aqui
e
, logo