Resolver as seguintes congruencias.
(d) 7 x equiv 5(bmod 18)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a congruência 7x equiv 5 pmod18. Esse exercício está dentro do assunto de congruências e aritmética modular. Para resolver isso, a gente vai precisar encontrar um valor de x que, quando multiplicado por 7 e dividido por 18, deixa resto 5. Para isso, vamos usar o método de inverso multiplicativo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o inverso multiplicativo de 7 módulo 18. Isso significa encontrar um número y tal que:
7y equiv 1 pmod18
Encontrar o inverso é essencial porque, uma vez que tivermos y, podemos multiplicar os dois lados da congruência original por y para isolar x.

Passo 3

Vamos encontrar o inverso de 7 módulo 18. Isso envolve encontrar um inteiro y que satisfaça a equação acima. Podemos tentar valores de y até encontrar o que funciona:
7 times 1 = 7 equiv 7 pmod18 7 times 2 = 14 equiv 14 pmod18 7 times 3 = 21 equiv 3 pmod18 7 times 13 = 91 equiv 1 pmod18
Então, o inverso de 7 módulo 18 é 13, pois 7 times 13 = 91 equiv 1 pmod18.

Passo 4

Agora que temos o inverso multiplicativo, podemos multiplicar ambos os lados da congruência original por 13:
13 times 7x equiv 13 times 5 pmod18
Simplificando a esquerda:
(13 times 7)x equiv 65 pmod18
Sabemos que 13 times 7 equiv 1 pmod18, então:
x equiv 65 pmod18

Passo 5

Vamos simplificar 65 pmod18 para encontrar o menor valor positivo de x:
65 div 18 = 3 com resto 11
Portanto:
65 equiv 11 pmod18

Resposta

A solução da congruência 7x equiv 5 pmod18 é:
x equiv 11 pmod18

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